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*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,考情分析,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,总纲目录,*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,考点聚焦,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,随堂检测,*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,典题精练,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,题型特点,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,题组训练,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,真题回访,第1课时导数与函数性质,1,考情分析,总纲目录,考点一 导数的几何意义,考点二 利用导数研究函数的单调性,考点三 利用导数研究函数的极值(最值),3,1.导数的几何意义,函数,f,(,x,)在,x,0,处的导数是曲线,f,(,x,)在点,P,(,x,0,f,(,x,0,)处的切线的斜率,曲线,f,(,x,),在点,P,处的切线的斜率,k,=,f,(,x,0,),相应的切线方程为,y,-,f,(,x,0,)=,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,).,第1课时导数与函数性质,考点一导数的几何意义,2.四个易错导数公式,(1)(sin,x,)=cos,x,;,(2)(cos,x,)=-sin,x,;,(3)(,a,x,)=,a,x,ln,a,(,a,0且,a,1);,(4)(log,a,x,)=,(,a,0且,a,1).,典型例题,(1)(2017课标全国,14,5分)曲线,y,=,x,2,+,在点(1,2)处的切线方程为,.,(2)(2017云南第一次统考)已知函数,f,(,x,)=,ax,ln,x,+,b,(,a,b,R),若,f,(,x,)的图象,在,x,=1处的切线方程为2,x,-,y,=0,则,a,+,b,=,.,答案,(1),x,-,y,+1=0(2)4,解析,(1),y,=,x,2,+,y,=2,x,-,y,|,x,=1,=2-1=1,所求切线方程为,y,-2=,x,-,1,即,x,-,y,+1=0.,(2)由题意,得,f,(,x,)=,a,ln,x,+,a,所以,f,(1)=,a,因为函数,f,(,x,)的图象在,x,=1处的切,线方程为2,x,-,y,=0,所以,a,=2,又,f,(1)=,b,则2,1-,b,=0,所以,b,=2,故,a,+,b,=4.,方法归纳,求曲线,y,=,f,(,x,)的切线方程的三种类型及方法,(1)已知切点,P,(,x,0,y,0,),求切线方程,求出切线的斜率,f,(,x,0,),由点斜式写出方程;,(2)已知切线的斜率,k,求切线方程,设切点,P,(,x,0,y,0,),通过方程,k,=,f,(,x,0,)解得,x,0,再由点斜式写出方程;,(3)已知切线上一点(非切点),求切线方程,设切点,P,(,x,0,y,0,),利用导数求得切线斜率,f,(,x,0,),再由斜率公式求得切线斜,率,列方程(组)解得,x,0,再由点斜式或两点式写出方程.,跟踪集训,1.(2017广东广州综合测试(一)设函数,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,若曲线,y,=,f,(,x,)在点,P,(,x,0,f,(,x,0,)处的切线方程为,x,+,y,=0,则点,P,的坐标为,(),A.(0,0),B.(1,-1),C.(-1,1),D.(1,-1)或(-1,1),答案,D由题意知,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,所以曲线,y,=,f,(,x,)在点,P,(,x,0,f,(,x,0,)处的,切线的斜率为,f,(,x,0,)=3,+2,ax,0,又切线方程为,x,+,y,=0,所以,x,0,0,且,解得,或,所以当,时,点,P,的坐标为(1,-1);,当,时,点,P,的坐标为(-1,1),故选D.,2.(2017四川成都第二次检测)若曲线,y,=,f,(,x,)=ln,x,+,ax,2,(,a,为常数)不存在斜,率为负数的切线,则实数,a,的取值范围是,(),A.,B.,C.(0,+,)D.0,+,),答案,D,f,(,x,)=,+2,ax,=,(,x,0),根据题意有,f,(,x,),0(,x,0)恒成,立,所以2,ax,2,+1,0(,x,0)恒成立,即2,a,-,(,x,0)恒成立,所以,a,0,故实数,a,的取值范围为0,+,).故选D.,3.(2017四川成都第一次检测)已知曲线,C,1,:,y,2,=,tx,(,y,0,t,0)在点,M,处,的切线与曲线,C,2,:,y,=e,x,+1,+1也相切,则,t,的值为,(),A.4e,2,B.4eC.,D.,答案,A由,y,=,得,y,=,则切线斜率为,k,=,所以切线方程为,y,-2,=,.即,y,=,x,+1.,设切线与曲线,y,=e,x,+1,+1的切点为(,x,0,y,0,).由,y,=e,x,+1,+1,得,y,=e,x,+1,则由,=,得,切点坐标为,故切线方程又可表示为,y,-,-1=,即,y,=,x,-,ln,+,+1,所以由题意,得-,ln,+,+1=1,即ln,=2,解得,t,=4e,2,故,选A.,考点二利用导数研究函数的单调性,导数与函数单调性的关系,(1),f,(,x,)0是,f,(,x,)为增函数的充分不必要条件,如函数,f,(,x,)=,x,3,在(-,+,)上,单调递增,但,f,(,x,),0.,(2),f,(,x,),0是,f,(,x,)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有,f,(,x,)=0时,则,f,(,x,)为常数函数,函数不具有单调性.,典型例题,(2017课标全国,21,12分)已知函数,f,(,x,)=e,x,(e,x,-,a,)-,a,2,x,.,(1)讨论,f,(,x,)的单调性;,(2)若,f,(,x,),0,求,a,的取值范围.,解析,(1)函数,f,(,x,)的定义域为(-,+,),f,(,x,)=2e,2,x,-,a,e,x,-,a,2,=(2e,x,+,a,)(e,x,-,a,).,若,a,=0,则,f,(,x,)=e,2,x,在(-,+,)单调递增.,若,a,0,则由,f,(,x,)=0得,x,=ln,a,.,当,x,(-,ln,a,)时,f,(,x,)0.,故,f,(,x,)在(-,ln,a,)单调递减,在(ln,a,+,)单调递增.,若,a,0,则由,f,(,x,)=0得,x,=ln,.,当,x,时,f,(,x,)0.,故,f,(,x,)在,单调递减,在,单调递增.,(2)若,a,=0,则,f,(,x,)=e,2,x,所以,f,(,x,),0.,若,a,0,则由(1)得,当,x,=ln,a,时,f,(,x,)取得最小值,最小值为,f,(ln,a,)=-,a,2,ln,a,从而当且仅当-,a,2,ln,a,0,即,a,1时,f,(,x,),0.,若,a,0).,(1)当,m,=1时,求曲线,y,=,f,(,x,),g,(,x,)在,x,=1处的切线方程;,(2)讨论函数,F,(,x,)=,f,(,x,)-,g,(,x,)在(0,+,)上的单调性.,解析,(1)当,m,=1时,y,=,f,(,x,),g,(,x,)=,y,=,=,x,=1时,切线的斜率,k,=,y,|,x,=1,=,又切线过点(1,0),所以切线方程为,y,=,(,x,-1),即,x,-2,y,-1=0.,(2)由已知得,F,(,x,)=,m,ln,x,-,所以,F,(,x,)=,-,=,=,当,m,0时,F,(,x,)0时,令,k,(,x,)=,mx,2,+(2,m,-1),x,+,m,=(2,m,-1),2,-4,m,2,=1-4,m,当,0,即,m,时,k,(,x,),0恒成立,此时,F,(,x,),0,函数,F,(,x,)在(0,+,)上单,调递增,当,0,即0,m,时,方程,mx,2,+(2,m,-1),x,+,m,=0有两个不相等的实数,根,设为,x,1,x,2,并令,x,1,x,2,则,所以0,x,1,1,x,2,其中,x,1,=,x,2,=,此时,函数,F,(,x,)在(0,x,1,),(,x,2,+,)上单调递增;在(,x,1,x,2,)上单调递减.,综上所述,当,m,0时,F,(,x,)在(0,+,)上单调递减;当0,m,0,右侧,f,(,x,)0,则,f,(,x,0,)为函数,f,(,x,)的极大值;若在,x,0,附近左侧,f,(,x,)0,则,f,(,x,0,)为函数,f,(,x,)的极小值.,(2)设函数,y,=,f,(,x,)在,a,b,上连续,在(,a,b,)内可导,则,f,(,x,)在,a,b,上必有最大值,和最小值且在极值点或端点处取得.,典型例题,(2017山东,20,13分)已知函数,f,(,x,)=,x,3,-,ax,2,a,R.,(1)当,a,=2时,求曲线,y,=,f,(,x,)在点(3,f,(3)处的切线方程;,(2)设函数,g,(,x,)=,f,(,x,)+(,x,-,a,)cos,x,-sin,x,讨论,g,(,x,)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.,解析(1)由题意,f,(,x,)=,x,2,-,ax,所以当,a,=2时,f,(3)=0,f,(,x,)=,x,2,-2,x,所以,f,(3)=3,因此,曲线,y,=,f,(,x,)在点(3,f,(3)处的切线方程是,y,=3(,x,-3),即3,x,-,y,-9=0.,(2)因为,g,(,x,)=,f,(,x,)+(,x,-,a,)cos,x,-sin,x,所以,g,(,x,)=,f,(,x,)+cos,x,-(,x,-,a,)sin,x,-cos,x,=,x,(,x,-,a,)-(,x,-,a,)sin,x,=(,x,-,a,)(,x,-sin,x,),令,h,(,x,)=,x,-sin,x,则,h,(,x,)=1-cos,x,0,所以,h,(,x,)在R上单调递增.,因为,h,(0)=0,所以当,x,0时,h,(,x,)0;,当,x,0时,h,(,x,)0.,当,a,0时,g,(,x,)=(,x,-,a,)(,x,-sin,x,),当,x,(-,a,)时,x,-,a,0,g,(,x,)单调递增;,当,x,(,a,0)时,x,-,a,0,g,(,x,)0,g,(,x,)0,g,(,x,)单调递增.,所以当,x,=,a,时,g,(,x,)取到极大值,极大值是,g,(,a,)=-,a,3,-sin,a,当,x,=0时,g,(,x,)取到极小值,极小值是,g,(0)=-,a,.,当,a,=0时,g,(,x,)=,x,(,x,-sin,x,),当,x,(-,+,)时,g,(,x,),0,g,(,x,)单调递增;,所以,g,(,x,)在(-,+,)上单调递增,g,(,x,)无极大值也无极小值.,当,a,0时,g,(,x,)=(,x,-,a,)(,x,-sin,x,),当,x,(-,0)时,x,-,a,0,g,(,x,)单调递增;,当,x,(0,a,)时,x,-,a,0,g,(,x,)0,g,(,x,)0,g,(,x,)单调递增.,所以当,x,=0时,g,(,x,)取到极大值,极大值是,g,(0)=-,a,;,当,x,=,a,时,g,(,x,)取到极小值,极小值是,g,(,a,)=-,a,3,-sin,a,.,综上所述:,当,a,0时,函数,g,(,x,)在(-,0)和(,a,+,)上单调递增,在(0,a,)上单调递减,函,数既有极大值,又有极小值,极大值是,g,(0)=-,a,极小值是,g,(,a,)=-,a,3,-sin,a,.,方法归纳,利用导数研究函数极值、最值的方法,(1)若求极值,则先求方程,f,(,x,)=0的全部实根,再检验,f,(,x,)在方程根的左,右两侧值的符号.,(2)若已知极
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