第8次课(2.1静电场的标势及其微分方程课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 静电场,Electrostatic field,本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。,本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。,第二章 静电场本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况,1,1.静电场标势微分方程,2.唯一性定理,3.分离变量法,4.镜像法,6.电多级矩,本章内容：,本章重点：,本章难点：,分离变量法、电多极子,静电势及其特性、分离变量法、镜象法,1.静电场标势微分方程本章内容：本章重点：本章难点：分离变,2,2.1 静电势及其微分方程,Scalar potential and differential equation for electrostatic field,一、静电场的标势,二、静电势的微分方程和边值关系,三静电场的能量,本节主要内容,2.1 静电势及其微分方程一、静电场的标势二、静电势的微,3,在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为,这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。,静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。,一、静电场的标势,在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为这两方程,4,无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即,设,C,1,和,C,2,为,P,1,和,P,2,点的两条不同路径。,C,1,与,C,2,合成闭合回路，因此,电荷由,P,1,点移至,P,2,点时电场对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。,无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即设C1和,5,把单位正电荷由,P,1,点移至,P,2,点，电场,E,对它所作的,功,为,这功定义为,P,1,点和,P,2,点的,电势差,。若电场对电荷做了正功，则电势,下降。由此,把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所作的功为这功定义,6,由这定义，,只有两点的电势差才有物理意义,，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令,()=0,有,由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数,7,相距为d,l,的两点的,电势差,由于,因此，,电场强度,E,等于电势,的负梯度,当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势 时，通过求梯度就可以求得电场强度。,相距为dl的两点的电势差由于因此，电场强度E等于电势 的,8,第8次课(2,9,点电荷,Q,激发的电场强度,其中,r,为源点到场点的距离。把此式沿径向场点到无穷远点积分，电势为,点电荷Q激发的电场强度其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向,10,一组点电荷Q,i,激发的电势,若电荷连续分布，电荷密度为,，设,r,为源点,x,到场点,x,的距离，则场点,x,处的电势为,一组点电荷Qi激发的电势若电荷连续分布，电荷密度为，设r为,11,二、静电势的微分方程和边值关系,电势满足的方程,拉普拉斯方程,适用于无自由电荷分布,的均匀介质,泊松方程,(适用于均匀介质),二、静电势的微分方程和边值关系电势满足的方程 拉普拉斯方程,12,2静电势的边值关系,(1)两介质分界面,0,P Q,电荷沿法线方向移动,切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于零）,2静电势的边值关系(1)两介质分界面0 P,13,第8次课(2,14,导体的特殊性,1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；,2、导体内部电场为零；,3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。,设导体表面所带电荷面密度为,，设它外面的介质电容率为，导体表面的边界条件为,导体,1,自由电荷,介质2,（2）导体表面上的边值关系,导体的特殊性1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；2,15,三静电场的能量,一般方程：,能量密度,总能量,仅讨论均匀介质,三静电场的能量 一般方程：能量密度 总能量 仅讨论均,16,若已知,总能量为,讨论：,（1）,适用于静电场，线性介质；,（2）,适用于求总能量.,（3）,不能把 看成是电场能量密度，它只能表示能量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以密度 的形式在空间连续分布，场强大的地方能量也大；,若已知 总能量为 讨论：（1）适用于静电场，线性介质；（2,17,（4）,中的 是由电荷分布 激发的电势；,（5）,在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。,（6）,若全空间充满了介电常数为,的介质，可得到电荷分布,所激发的电场总能量,式中,r,为 与 点的距离。,（4）中的,18,例1 P,56,求带电量,Q,、半径为,a,的导体球的静电场总能量。,整个导体为等势体,导体球的电荷分布于球面上,因此静电场总能量为,解,方法之一:按电荷分布,例1 P56 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量,19,方法之二:按电场分布,因为球内电场为零，故只须对球外积分,方法之二:按电场分布因为球内电场为零，故只须对球外积分,20,y,o,x,p,例2 P,55,求均匀电场 的电势。,Solution:因为均匀电场中每一点强度 相同，其电力线为平行直线，选空间任一点为原点，并设原点的电势为 。,根据 ，得到,如果，,yoxp例2 P55 求均匀电场 的电势。So,21,例3 P,56,均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的,，求空间的电势。,场点,p,R,o,z,z,电荷源,Solution:,选取柱坐标：源点的坐标为（0,0,z,),场点的坐标为（,R,0,0)，电荷 元 到,P,点的距离,无穷大的积分结果与电荷不是有限区域内分布有关。,例3 P56均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的，,22,计算两点,P,和,P,0,的电势差可以不出现无穷大。设,P,0,点与导线的垂直距离为,R,0,，则有限长直导线在,P,点和,P,0,点相对,的电势为,无限长直导线在,P,点相对,P,0,点的电势差,计算两点P和P0的电势差可以不出现无穷大。,23,若选,P,0,为参考点，则,若选P0为参考点，则,24,例题4 电偶极子产生的电势,-Q,Q,z,x,y,P,解：,系统偶极矩,求近似值：,例题4 电偶极子产生的电势-QQzxy解：系统偶极矩 求近似,25,同理,平面为等势面（,Z,=0的平面）。,同理 平面为等势面（Z=0的平面）。,26,若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：,注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质 ，而,用真空中的,。这由,决定。,均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设 为束缚电荷，,若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：注意：考虑了束缚电荷,27,总结：,泊松方程,导体：,总能量,总结：泊松方程导体：总能量,28,