2-4隐函数和参数方程求导

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,教学目的与要求,会求隐函数和参数式所确定的函数的一、二阶导数,掌握对数求导法,重点：,隐函数和参数式所确定的函数的导数,难点：,如何直接由,F(x,y,)=0,求出函数,y,对,x,的导数及参数方程的二阶导数,一、隐函数的导数,定义,:,隐函数的显化,问题,:,隐函数不易显化或不能显化如何求导,?,例如,可确定,y,是,x,的函数,但此隐函数不能显化,.,隐函数求导法则,:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导,.,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(,含导数 的方程,),例1,解,解得,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点,.,例3,解,二、对数求导法,观察函数,方法,:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,.,-,对数求导法,适用范围,:,例4,解,等式两边取对数得,例5,解,等式两边取对数得,一般地,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意,:,三、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题,:,消参困难或无法消参如何求导,?,由复合函数及反函数的求导法则得,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由,它确定的函数,可求,二阶导数,.,利用新的参数方程,可得,例6,解,?,已知,注意,:,所求切线方程为,例7,解,例8,解,例,9.,设由方程,确定函数,求,解,:,方程组两边对,t,求导,得,故,四、相关变化率,相关变化率问题,:,已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率,?,例,10,解,仰角增加率,思考题,:,当气球升至,500 m,时停住,有一观测者以,100 m,min,的速率向气球出发点走来,当距离为,500 m,时,仰角的增加率是多少,?,提示,:,对,t,求导,已知,求,例,11,解,水面上升之速率,4000m,某人身高,2,米，以,请问此人身影长度的变化率是多少？,解决此类问题的思路,是：利用几何和物理方面的知识，,建立,x,与,y,之间的关系式，这种关系式称为相关方程，,然后将相关方程对,t,求导，即可得到,和,之间的关系，最后求出,。,例,12,五、小结,隐函数求导法则,:,直接对方程两边求导,;,对数求导法,:,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导,;,参数方程求导,:,实质上是利用复合函数求导法则,;,相关变化率,:,通过函数关系确定两个相互依赖的变化率,;,解法,:,通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解,.,求高阶导数时,从低到高,每次,都用,参数方程,求导公式,列出依赖于,t,的相关变量关系式,对,t,求导,相关变化率之间的关系式,思考题,思考题解答,不对,2.,设,求,提示,:,分别用对数微分法求,答案,:,3.,设,由,方程,确定,解,:,方程两边对,x,求导,得,再,求导,得,当,时,故由,得,再,代入,得,求,求其反函数的导数,.,解,:,方法,1,方法,2,等式两边同时对 求导,备用题,1.,设,求,解,：,2,.,设,方程组两边同时对,t,求导,得,练 习 题,练习题答案,