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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第九章,*,二、全微分在近似计算中的应用,应用,第三节,一元函数,y=f,(,x,),的微分,近似计算,估计误差,本节内容:,一,、全微分的定义,全微分,一,、全微分的定义,定义:,如果函数,z=f,(,x,y,),在定义域,D,的内点(,x,y,),可表示成,其中,A,B,不依赖于,x,y,仅与,x,y,有关，,称为函数,在点(,x,y,),的,全微分,记作,若函数在域,D,内各点都可微,则称函数,f,(,x,y,),在点(,x,y,),可微,，,处全增量,则称此函数,在,D,内可微.,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数,z=f,(,x,y,),在点(,x,y,),可微,当函数可微时:,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理1,(必要条件),若函数,z=f,(,x,y,),在点(,x,y,),可,微,则该函数在该点的偏导数,同样可证,证,:,因函数在,点(,x,y,),可微,故,必存在,且有,得到对,x,的偏增量,因此有,反例:,函数,易知,但,因此,函数在点(0,0)不可微.,注意:,定理1 的逆定理不成立.,偏导数存在函数,不一定可微,!,即:,定理2,(充分条件),证,：,若函数,的偏导数,则函数在该点,可微分,.,所以函数,在点,可微.,注意到,故有,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为,偏微分,.,的全微分为,于是,例,1.,计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例,2.,计算函数,的全微分.,解:,可知当,*,二、全微分在近似计算中的应用,1.近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于误差分析或近似计算),(可用于近似计算),半径由 20,cm,增大,解:,已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3.,有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05,cm,则,高度由100,cm,减少到 99,cm,体积的近似改变量.,求此圆柱体,例4.,计算,的近似值.,解,:,设,则,取,则,分别表示,x,y,z,的绝对误差界,2.,误差估计,利用,令,z,的绝对误差界约为,z,的相对误差界约为,则,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形.,乘除后的结果相对误差变大,很小的数不能做除数,例,5.,利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：,故绝对误差约为,又,所以,S,的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,例6,.,在直流电路中,测得电压,U,=24 V,解:,由欧姆定律可知,(,),所以,R,的相对误差约为,0.3,+,0.5,R,的绝对误差约为,0.8,0.3,;,定律计算电阻为,R,时产生的相对误差和绝对误差.,相对误差为,测得电流,I,=6A,相对误差为 0.5,=0.032(,),=0.8,求用欧姆,内容小结,1.微分定义:,2.重要关系:,函数可导,函数可微,偏导数连续,函数连续,定义,3.微分应用,近似计算,估计误差,绝对误差,相对误差,思考与练习,1.,P75,题,5；,P129,题 1,函数,在,可微的充分条件是(),的某邻域内存在;,时是无穷小量;,时是无穷小量.,2.选择题,答案:,也可写作:,当,x=,2,y=,1,x=,0.01,y=,0.03,时,z=,0.02,d,z=,0.03,3.,P129,题 7,4.,设,解:,利用轮换对称性,可得,注意:,x,y,z,具有,轮换对称性,答案:,作业,P74 1,(3),(4);,3;,*,6;,*,9;,*,11,5.,已知,第四节,在,点(0,0)可微.,备用题,在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:,1),因,故函数在点(0,0)连续;,但偏导数在点(0,0)不连,证明函数,所以,同理,极限不存在,在点(0,0)不连续;,同理,在点(0,0)也不连续.,2),3),题目,4),下面证明,可微:,说明:,此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,题目,
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