多元函数的极限与连续课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,数学分析,多元函数的极限与连续,重极限与累次极限,浙江师范大学数学系,1,数学分析多元函数的极限与连续重极限与累次极限浙江师范大学数学,复习,二元函数极限的定义,2,复习二元函数极限的定义2,例1,讨论函数,等值图,解,当点(x,y)沿任何直线趋于原点时，,但是，当点(x,y)沿抛物线 y=k,x,2,(0k1)趋于点(0,0)时，,当,时的极限.,总有,有,3,例1 讨论函数等值图解当点(x,y)沿任何直线趋于原点,例2,设,图像,证,作极坐标变换 x,=rcos,y=rsin,.由于,什么值都有|f(x,y)-0|,不论,取,因此，对,4,例2 设图像证作极坐标变换 x=rcos,y=,例3,讨论函数,函数图像,等值图,分析：,则有,f(x,y)=f(rcos,rsin),当,=0,/2,3/2 时，上式的值为0；,当,取任一给定的且不等于k/2(k=0,1,2,3)的值时，,总有：,作极坐标变换 x=rcos,y=rsin(),当,时的极限.,5,例3 讨论函数函数图像等值图分析：则有f(x,y)=f,|f(rcos,rsin)|,下面我们对例2和例3中的过程作一个比较.,|f(rcos,rsin)|,对例2，用“,”语言表示为,：,恒,有,对例3，用“,”语言可表示为,：,对,6,|f(rcos,rsin)|0,对,任意 x,U,0,(x,0,;,),存在极限,也存在，且,则累次极限,15,定理16.6若 f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限且存,在(*)式中令y,y,0,这就说明了,=A.,证明,点(x,0,y,0,)记为P,0,由定义，对,当 时，有,取,(*),由条件，对 存在极限,则,当,时,16,在(*)式中令yy0,这就说明了=A.证明点,定理16.6,若 f(x,y)在点(x,0,y,0,)存在重极限,与累次极限,则它们必相等.,17,定理16.6若 f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限与累,如果重极限和两个累次极限都存在，它们是否相等？,如果两个累次极限存在但不相等，重极限可能存在吗？,18,如果重极限和两个累次极限都存在，它们是否相等？如果两个累次极,推论1,若累次极限,和重极限,都存在，则三者相等.,推论2,若累次极限,存在但不相等，则重极限,19,推论1若累次极限 和重极限都存在，则三者相等.推论2若累次极,例6,函数,在点,(0,0)的两个累次极限分别为,=1,=-1,与,因此，根据上面的推论2，重极限,不存在.,20,例6 函数在点(0,0)的两个累次极限分别为=1=-,作业：,P129 2(2)(3)(5)(7),6,8,21,作业：P129 2(2)(3)(5)(7),6,821,22,22,y=x,2,f=1,f=0,O,x,y,23,y=x2f=1f=0Oxy23,24,24,