第七章-不可压缩流体动力学基础(共35张PPT)

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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章,不可压缩流体动力学基础,第1页,共35页。,本章内容:,在许多工程实际问题中,流动参数不仅在流动方向上发生变化,而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题,就要用,多维流的分析方法,。,本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律,为解决工程实际中类似的问题提供理论依据,也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。,第2页,共35页。,7.1,流体微团运动分析,刚体,的一般运动可以分解为,移动,和,转动,两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有,流动性,,,极易变形,。因此,任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动,而且还会发生,变形运动,。所以,在一般情况下流体微团的运动可以分解为,移动,、,转动,和,变形运动,三部分。,为简化分析,仅讨论在,xoy,平面上流体微团的运动。假设在时刻,t,,流体微团,ABCD,为矩形,其上各点的速度分量如图所示。由于微团上各点的速度不同,经过时间,dt,,势必发生不同的运动,微团的位置和形状都将发生变化,现分析如下。,第3页,共35页。,7.1,流体微团运动分析,一、流体微团的平移运动和线变形,1,、平移运动,如图所示,,矩形,ABCD,各角点具有相同的速度,v,x,、,v,y,在,dt,时间内,导致矩形,ABCD,平移距离为:,d,x,=,v,x,d,t,d,y,=,v,y,d,t,但,ABCD,的形状不变。,第4页,共35页。,7.1,流体微团运动分析,一、流体微团的平移运动和线变形,2,、线变形,线变形运动取决于速度分量在它所在方向上的速度变化,如图所示:,变形量,线变形速度:,单位时间,单位长度 的线变形。,第5页,共35页。,7.1,流体微团运动分析,二、流体微团的旋转和角变形,若只考虑,A,与,D,、,B,与,C,在,y,轴方向有相同的速度差 ,以及,A,与,B,、,D,与,C,在,x,轴,方向有相同的速度差 ,当,都为正值时,则在经过,dt,时间后,,A,点向上向右和,C,点向下向左分别都移动了,和 距离,而,D,点向下向右和,B,点向上向左分别都移动了 距离,其结果是:,AD,边和,BC,边向反时针方向旋转了微小角度,d,,,AB,边和,DC,边向顺时针角度旋转了微小角度,d,;同样,通过形心的平行于,x,和,y,轴的中心线分别也向反时针旋转了,d,和顺时针旋转了,d,,如图:,第6页,共35页。,7.1,流体微团运动分析,二、流体微团的旋转和角变形,1,、旋转运动,则微团发生旋转时,其总的角位移为:,则微团旋转时,其旋转角速度定义为:,同理,对于空间三元流动:,角速度大小为:,若 ,则,d=d,矩形形状不 变,只发生旋转。,第7页,共35页。,7.1,流体微团运动分析,二、流体微团的旋转和角变形,2,、角变形,若 ,则,d=d,,也就是只,发生角变形运动,使矩形变成平行四边形。,流体微团总的角变形为:,角变形速度为:,对于空间三元流动:,第8页,共35页。,7.1,流体微团运动分析,二、流体微团的旋转和角变形,一般情况下,微团在发生旋转运动的同时,还会发生角变形运动,这个运动可以看作旋转运动和角变形运动的合成,如图所示。,三、亥姆霍兹速度分解定理,前面在流体微团的分析中,已给出,O,点的速度,,与点,O,相距微小矢径的点,M,(),的速度为,:,第9页,共35页。,7.1,流体微团运动分析,三、亥姆霍兹速度分解定理,在第一式右端加入两组等于零的项:,其值不变。经过简单组合,可将该式写成,:,同理,可写出其余两个速度分量,则,M,点的速度可以写为,:,上式表明:各速度分量的第一项是平移速度分量,第二、三、四项分别是由线变形运动、旋转运动和角变形运动所引起的速度分量。此关系也称为,海姆霍兹(,Helmholtz),速度分解定理,,该定理可简述为:,在某流场,O,点邻近的任意点,M,上的速度可以分成,三个部分,:分别为,与,O,点相同的平移速度,(平移运动);,绕,O,点转动在,A,点引起的速度,(旋转运动);,由于变形(包括线变形和角变形)在,A,点引起的速度,(变形运动)。,第10页,共35页。,有旋流动,一、速度环量,在流场中任取封闭曲线,K,,如图所示。速度沿该封闭曲线的线积分称为速度沿封闭曲线的环量,简称,速度环量,在封闭曲线,k,上的速度矢量,即:,式中:,速度与该点上切线,之 间的夹角。,注,:速度环量是个标量,但具有正负号。,速度环量的正负不仅与速度方向有关,而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为,K,的正方向,即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧,如图所示。当沿顺时针方向绕行时,上式应加一负号。实际上,速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线,K,运动的总的趋势的大小,或者说所反映的是流体的有旋性。,第11页,共35页。,有旋流动,一、速度环量,而,则:,二、斯托克斯定理,沿封闭曲线的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系,现仅以平面流动为例找出这个关系。如图所示,在平面,xoy,上取一微元矩形封闭曲线,其面积,流体各点的速度分量如图所示,第12页,共35页。,线变形速度:单位时间,单位长度 的线变形。,在流场中任取封闭曲线K,如图所示。,在第一式右端加入两组等于零的项:,要研究此类问题,就要用多维流的分析方法。,如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零,也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零,则在这个区域内的流动一定是无旋流动。,当为不可压缩流体时,有 ,则上式为:,发生角变形运动,使矩形变成平行四边形。,若 ,则d=d,矩形形状不 变,只发生旋转。,对于不可压缩的流体,即=const,则,二、法向应力和线变形速度的关系,根据一元流体牛顿内摩擦定律:,对于不可压缩的流体,即=const,则,由上节知,粘性流体运动微分方程为:,有旋流动,一、速度环量,二、斯托克斯定理,于是,沿封闭曲线反时针方向,ABCDA,的速度环量,将各点速度的值代入上式,略去高于一阶的无穷小项,得:,然后对面积积分,得:,第13页,共35页。,有旋流动,二、斯托克斯定理,于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的,斯托克斯定理,:沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍,称之为,涡通量,J,,即:,由上式可导出另一个表示有旋流动的量,称为,涡量,。它定义为单位面积上的速度环量,是一个矢量。它在,Z,轴方向的分量为:,对于流体的空间流动,同样可求得,x,和,y,轴方向涡量的分量为:,即:,其中:,第14页,共35页。,流体动压强:任一点三个相互垂直平面 上的法向应力的平均值。,【例2】已知不可压缩流体运动速度 在 ,两个轴方向的分量为 ,。,它定义为单位面积上的速度环量,是一个矢量。,2流体是不可压缩的,即=const;,绕O点转动在A点引起的速度(旋转运动);,7 流体运动微分方程及其积分,如果将这一结论推广到三元流体,在xoy平面上,由节知:,和 距离,而D点向下向右和B点向上向左分别都移动了 距离,其结果是:AD边和BC边向反时针方向旋转了微小角度d,AB边和DC边向顺时针角度旋转了微小角度d;,二、流体微团的旋转和角变形,如图所示,在平面xoy上取一微元矩形封闭曲线,其面积,流体各点的速度分量如图所示,的恒定流。,当为理想流体时0,上式成为:,在流场中任取封闭曲线K,如图所示。,三、质量力为重力时的贝努利方程,对于流体的空间流动,同样可求得x和y轴方向涡量的分量为:,有旋流动,二、斯托克斯定理,由此可见,在流体流动中,如果涡量的三个分量中有一个不等于零,即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零,也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零,则在这个区域内的流动一定是无旋流动。,三、有旋流动和无旋流动,流体的流动是有旋还是无旋,是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中,如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动,则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动,则称为无旋流动。,第15页,共35页。,【,例,】,某一流动速度场为 ,其中 是不为零的常数,流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。,【解】,由于,所以该流动是有旋运动。,第16页,共35页。,7.3,不可压缩流体连续性微分方程,在流场内任取一微元六面体,如图,边长为,d,x,d,y,d,z,,中心点,O,流速为(,u,x,u,y,u,z,),密度为,,以,x,轴方向为例:,左表面:流速,密度,在,dt,时间内流入左表面的流体质量为:,右表面:流速,密度,在,dt,时间内流出右表面的流体质量为:,第17页,共35页。,7.3,不可压缩流体连续性微分方程,在,dt,时间内流入流出左右表面的流体质量为:,所以在,dt,时间内流入与流出该六面体流体的质量差为:(流进为正,流出为负),同理可得:,则在,dt,时间内流入与流出该六面体流体的质量差为:,第18页,共35页。,7.3,不可压缩流体连续性微分方程,在此六面体中,流体原来的质量为,dxdydz,dt,时间后,密度变为:,,由于体积,未变,则质量变为:,因而在,dt,时间内,由于密度变化而引起质量的增量为:,质量守恒定律,:同时间内流入与流出六面体的流体质量差之总和,dM,应等于六面体内因密度变化而引起流体质量的增量,dM,。,即:,第19页,共35页。,7.3,不可压缩流体连续性微分方程,1,、流体的连续性微分方程的一般形式,适用范围,:理想流体或实际流体;恒定流或非 恒,定流;可压缩流体或不可压缩流体。,2,、可压缩流体恒定流动的连续性微分方程,当为恒定流时,有 ,则上式为:,适用范围,:理想、实际、可压缩、不可压缩,的恒定流。,3,、不可压缩流体的连续性微分方程,当为不可压缩流体时,有 ,则上式为:,物理意义,:不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积(质量),与流出的流体体积(质量)之差等于零。,适用范围,:理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。,第20页,共35页。,【例,1】,有二种二元液流,其流速可表示为:,(,1,),u,x,=-2,y,u,y,=3,x,;,(,2,),u,x,=0,u,y,=3,xy,。,试问这两种液流是不可压缩流吗?,第21页,共35页。,【例,2】,已知不可压缩流体运动速度 在 ,两个轴方向的分量为 ,。且在 处,有 。试求 轴方向的速度分量 。,【解】对不可压缩流体连续性方程为:,将已知条件代入上式,有,又由已知条件对任何,,当 时,。故有,第22页,共35页。,7.4,以应力表示的粘性流体运动微分方程式,一、粘性流体的内应力,粘性流体在运动时,其表面力包括:,压应力,和粘性引起的,切应力,,其表示如图所示,。,1,、应力符号角标的表示:,2,、应力正负号的确定:,第,1,个角标表示作用面的外法线方向,第,2,个角标表示应力方向。,如果该应力作用面的,外法线方向,与坐标轴的,正向一致,,则该应力以,沿坐标轴正向为正,负向为负,;,如果该应力作用面的,外法线方向,与坐标轴的,负向一致,,则该应力以,沿坐标轴负向为正,正向为负,;,第23页,共35页。,7.4,以应力表示的粘性流体运动微分方程式,二、以应力表示的运动微分方程,如图所示微元体,,x,向受力为:,质量力:,法向力:,切向力:,惯性力:,由牛顿第二运动定律,F,ma,x,得,:,第24页,
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