第一次数学危机课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,3,第一次数学危机,13 第一次数学危机,2,历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的,挫折叫做危机。危机意味着挑战，危机的解决就意,味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。,数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危,机，都是,数学的基本部分,受到质疑。实际上，也恰,恰是这,三次危机，引发了数学上的三次思想解放,，,大大推动了数学科学的发展。,2历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折叫做危机。危机意,一、什么是数学危机,危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学,上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。,人类最早认识的是,自然数,。从引进零及负数就经,历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就,行不通；,引进分数使乘法有了逆运算,除法。,一、什么是数学危机危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学,接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用,有理数来表示,?,于是发现无理数就导致了,第一次数学,危机,，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的,体系化。,方程,的解导致了,虚数,的出现，虚数从一开始就被,认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数,所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。,几何学,的发展从,欧几里得几何,的一统天下发展到,各种非欧几何学。,接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是,5,二、毕达哥拉斯学派和他们的,“万物皆数”,1.,毕达哥拉斯,Pythagoras,(,约前,570,年,前,500,年）,毕达哥拉斯是公元前,500,多年古希腊的哲学家、,数学家、天文学家。,5二、毕达哥拉斯学派和他们的“万物皆数”1.毕达哥拉斯Py,6,毕达哥拉斯,(,公元前,570,年公元前,500,年,),6毕达哥拉斯(公元前570年公元前500年),7,毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，,也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和,理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德,的思想产生很大影响。,7毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，也致力于哲学与数学的研究,8,相传“哲学”,（希腊原词,意为,“,智力爱好,”）,和“数学”,（希腊原,词,意为“,可学到的知识,”）,这两个词是毕达哥拉斯本人所创。,?,?,8相传“哲学”（希腊原词意为“智力爱好”）和“数学”（希腊原,9,2.,毕达哥拉斯学派在数学上的贡献,1,）,数学证明的起始,泰勒斯,?,毕达哥拉斯,?,欧几里得,证明是要有假设的,:,公设、公理及定义。,许多人推测，欧几里得几何原本前两,卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。,92.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献1）数学证明的起始泰勒斯,10,2,）,数学抽象的提出,从实物的数与形，抽象到数学上的数与,形，本身就把数学推向了科学。,3,）,毕达哥拉斯定理,即“直角三角形两条直角边的平方和等,于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股,定理。,102）数学抽象的提出从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，,11,周髀算经,中的,“,勾股定理,”,（约公元前,700,年）,周髀算经,卷上记载,西周开国,时期,周公与大夫,商高,讨论勾股测量的对,话，商高答周公问时提到,“勾广三,股修四,经隅五”,，,这是勾股定理,的特例。,卷上另一处叙述,周公后人,荣方与陈,子（约公元前,6,、,7,世纪）的对话,中，则包含了勾股定理的一般形式,：“,以日下为勾，日高为股，,勾股各自乘，并而开方除之，得邪,至日。,”,11周髀算经中的“勾股定理”（约公元前700年）周髀算,12,中国数学史上最先完成勾股定理证明：,公元,3,世纪三国时期的赵爽。赵爽注周髀,算经，作“勾股圆方图”，其中的弦图，,相当于运用面积的,“出入相补”,方法,（刘,徽）,，证明了勾股定理。如图,12中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元3世纪三国时期的赵,13,13,14,西方文献中称此定理为,毕达哥拉斯,定理,。,曾经有人编书，收集了勾股定理的,370,种证法。,14西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理。曾经有人编书，收集了,15,3.,毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说,1,）,“万物皆数”学说,数，是世界的法则,毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整,数，同时还包含它们的比，即正分数,。,任意两条线段,a,、,d,都是可公度的,“可公度的”，意即有公共的度量单位,t,。,n,m,a,d,t,a,mt,?,d,nt,?,153.毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说1）“万物皆数”学,16,2,）,实例,形数,三边形数、四边形数、五边形数、,六边形数；,162）实例形数三边形数、四边形数、五边形数、六边形数；,17,(,1),1,2,2,n,n,n,?,?,?,?,?,L,2,1,3,(2,1),n,n,?,?,?,?,?,L,(3,2),1,4,(3,2),2,n,n,n,?,?,?,?,?,?,L,2,1,5,(4,3),2,n,n,n,?,?,?,?,?,?,L,?,?,三边形数,四边形数,五边形数,六边形数,3,6,10,15,M,4,9,16,25,M,5,12,22,35,M,6,15,28,45,M,?,?,17(1)122nnn?L213(21)nn?,18,“形数”体现了数与形的结合；,让我们从又一个侧面了解“,万物皆数,”。,毕达哥拉斯学派的“,万物皆数,”学说，,加强了数学中的理论化倾向。,18“形数”体现了数与形的结合；让我们从又一个侧面了解“万物,19,多个场合下的小整数比,产生谐音的各个弦的长度成小整数比,绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数,比，就会发出谐音。例如，,1,2,时短弦的音高,8,度，,2,3,时短弦音高,5,度，,3,4,时短弦音高,4,度；当三根弦的长度之比为,3,4,6,时，就得,到谐音。,19多个场合下的小整数比产生谐音的各个弦的长度成小整数比,20,同名正多边形复盖平面的情形（即铺正,多边形地砖的情形）,只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地,放,6,个正三角形，或者,4,个正方形，或者,3,个正六边形,，如图：,20同名正多边形复盖平面的情形（即铺正多边形地砖的情形）只,21,21,22,毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和,谐在于数”，神是以数的规律创造世界,的。,“,万物皆数,”,学说产生了很大的影响。,22毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在于数”，神是以数的规律,23,三、,与第一次数学危机,对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是,毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的,符号，这就是,。,2,2,23三、与第一次数学危机对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是,24,1.,的发现和危机的产生,2,C 1,1,根据毕达哥拉斯定理，边长为,1,的正方形，其对,角线长度若记为,，则,，推出,2,2,2,1,1,2,c,?,?,?,c,2,2,c,?,1,）一个不能表成整数比的数,241.的发现和危机的产生2C,25,下边证明，当,时，,不能表成整数比。,2,2,c,?,c,由此知,是偶数。由于偶数的平方是偶,数，奇数的平方是奇数，,是偶数。,2,n,n,如果不然，有两个正整数,和,使,（不妨设,是既约分数即,）。两端,平方得,，即,。,n,c,m,?,n,m,2,2,2,n,m,?,2,2,2,m,n,?,m,n,(,),1,m,n,?,25下边证明，当时，不能表成整数比。22c?c由此知是偶数。,26,因,“既约”，,不能再是偶数，于是,是奇,数。这样,的左端，因,是奇数而不能,被,4,整除，右端却因,是偶数而可以被,4,整除。这,个矛盾说明开始的假设,是错误的。从而,不能表成两个整数的比。证毕。,2,2,2,m,n,?,n,c,m,?,n,m,m,m,m,n,c,注,：,这是“反证法”的,开始,。,26因“既约”，不能再是偶数，于是是奇数。这样的左端，因是奇,27,2,）不可公度的线段,设正方形的边长为,，对角线长为,，如图：,a,d a,a,d,272）不可公度的线段设正方形的边长为，对角线长为，如图：a,28,根据毕达哥拉斯定理，,。如果存在第三,个线段长为,，使得,和,都是,的整数倍，,如,，,，这里,，,是整数,.,2,2,2,d,a,?,a,mt,?,d,nt,?,t,a,d,t,m,n,a,d,t,a,mt,?,d,nt,?,28根据毕达哥拉斯定理，。如果存在第三个线段长为，使得和都是,29,由,得,，从而，又可以,类,似于上一个证明,导出矛盾。,2,2,2,d,a,?,2,2,2,2,2,n,t,m,t,?,于是，,与,就是不可公度线段。,a,d,所以，不可能存在长度为,的线段，使得,且,。,t,a,mt,?,d,nt,?,（,严重：,“可公度”涉及“成比例”，进一步还涉及“相似,形”）,29由得，从而，又可以类似于上一个证明导出矛盾。222da?,30,3,）,危机产生，封锁消息,希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。,一个正方形的对角线与其,一边的长度是不可公度的,希帕索斯,(Hippasus),303）危机产生，封锁消息希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。一个,31,4,）,无理数,像,这样的数,，和其它一些不能表成整,数比的数，称为,无理数,。,称两个整数之比为,有理数,，而把,那样的一,类数叫做,无理数,，即,没有道理的数,，原来是,翻,译,出了问题。,2,2,c,?,c,2,314）无理数像这样的数，和其它一些不能表成整数比的数，称为,32,rational number,是有理数的英文名称，而,rational,是,一个多义词，含有“,比的,”，“有理的”意思。,而词根,ratio,来自希腊文，完全是“比”的意思。对,“rational number”正确的翻译应该是“,比数,”。,“比数”的名称才正确反应了这类数是两个整数,之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道,的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。,把由自然数产生的数,叫做,比数，,其实才符合古人,的原意。,n,m,32rational number 是有理数的英文名称，而r,33,在东方，最早把,rational number,翻译过来的,是日本人。可能是那个日本人英文不好，数,学又不太懂，把它翻译成“有理数”。而日,本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个,字照搬过来，沿用至今，形成习惯。,如果正确地把两个整数之比叫做“,比数,”，,那么像,一类的数称为“,非比数,”，还是颇,有道理的。,2,33在东方，最早把rational number 翻译过来的,34,2.“,两个量的比相等”,的新定义,部分地消除了危机,342.“两个量的比相等”的新定义部分地消除了危机,35,两个量的比相等，即,。,约公元前,370,年，希腊数学家,欧多克索斯,和,阿契,塔,的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第,三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量,的,任何相同的倍数,，第二个和第四个量的任何其他,的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小,于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个,量的倍数的相应关系”。,a,c,b,d,?,35两个量的比相等，即。约公元前370年，希腊数学家欧多克索,36,“,两个量的比相等”,的,这一,定义，是正确的、严,格的，部分地解决了危机，,使几何的基础牢靠了，,几何从全部数学中脱颖而出。,欧几里得的几何原本中也采用了这一定,义，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是,全部严密数学的基础。,但是彻底解决这一危机是在,19,世纪，依赖于数,系的扩充和实数理论的建立。,36“两个量的比相等”的这一定义，是正确的、严格的，部分地解,37,3.,无理数与数系的扩张,危机的解决,1,）,有理数的稠密性,定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在,数轴上，每一个不管处于什么位置，也不论是多么,小的区间（,）中都存在着这