理学定积分的概念和性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1.,曲边梯形的面积,求由连续曲线,6.1.1,定积分问题举例,思想：,用,矩形面积,近似取代曲边梯形面积,梯形面积,（五个小矩形）,（十个小矩形）,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边,采取下列四个步骤求面积,：,(1),分割,(2),近似,长度为,为高的小矩形的,面积近似代替,(3),求和,这些小矩形面积之和可作为曲边梯形,面积,A,的近似值,.,(4),取极限,为了得到,A,的精确值,取极限,形的面积,:,分割无限加细,极限值就是曲边梯,2.,求变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,已知速度,是时间间隔,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程,.,思想：,把整段时间分割成若干小段,每小段上,速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便,得到路程的近似值,最后通过对时间的无限,细分过程求得路程的精确值,(1),分割,(3),求和,(4),取极限,路程的精确值,(2),近似,表示在时间区间,内走过的路程,.,某时刻的速度,设,函数,f,(,x,),在,a,b,有定义,在,a,b,中任意插入,定义,若干个分点,把区间,a,b,分成,n,个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,如果不论对,(1),(2),(3),(4),6.1.2,定积分的定义,被积函数,被积表达式,记为,积分和,怎样的分法,也不论在小区间,上点,怎样的取法,只要当,和,S,总趋于确定的,极限,I,称这个极限,I,为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的,定积分,.,积分下限,积分上限,积分变量,a,b,积分区间,(2),的结构和上、下限,定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数,有关,;,注,无关,.,而,与积分变量的记号无关,.,曲边梯形的面积,曲边梯形面积的负值,定积分的几何意义,几何意义,各部分面积的代数和,.,取负号,.,它是介于,x,轴、函数,f,(,x,),的图形及两条,直线,x,=,a,x,=,b,之间的,在,x,轴上方的面积取正号,;,在,x,轴下方的面积,例,解,o,x,y,当函数,的定积分存在时,可积,.,6.1.3,函数的可积性,定理（可积的必要条件）,定理,1,可积,.,定理,2,且只有有限个间,可积,.,断点,充分条件,定理,3,可积,.,解,例,用定积分定义计算由,和,x,轴所围成的曲边梯形面积,.,直线,小区间,的长度,取,对定积分的,补充规定,6.1.4,定积分的性质,证,(,此性质可以推广到有限多个函数作和的情况,),性质,1,证,性质,2,性质,1,和性质,2,统称为,线性性质,.,例,定积分对于积分区间具有可加性,则,性质,3,假设,补充,的相对位置如何,上式总成立,.,不论,证,性质,4,性质,5,如果在区间,则,推论,1(,保序性,),证,如果在区间,则,于是,证,推论,2(,定积分的绝对值不等式,),解,令,于是,比较积分值,和,的大小,.,例,证,此性质可用于估计积分值的大致范围,性质,6(,有界性,),分别是函数,最大值及最小值,.,则,解,估计积分,例,解,估计积分,例,性质,7,（积分中值定理,),如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立,:,积分中值公式,例,证,由积分中值定理,有,(,a,为常数,),思考题,解,由定积分几何意义可知,用定积分的几何意义计算,并求,所围图形的面积,.,