第9章-系统的信号流图

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,由前面的学习,我们知道系统的输入和输出关系可以用差分方程或系统函数来表示，例如一个线性时不变系统可以用差分方程表示为：,相应的系统函数则表示为：,第九章 系统的信号流图,而以上的差分方程和系统函数所表示的离散时间系统，要在计算机或专用硬件上实现时，必须把以上关系变换为计算机上的算法。,所谓的算法，本质上是由一组基本运算或基本单元定义的，为了实现以上离散时间系统，一般选择加法器、常数乘法器和延时单元作为基本的运算单元，即由这些单元组成的网络结构来实现常系数线性差分方程所描述的系统。,通常，当某一线性时不变系统给定时，用来实现该系统的网络结构不是唯一的，在本节的学习中，我们将看到有许多种结构都能实现输入与输出之间的相同关系。更深入的，我们将学习虽然有些结构在理论上是等效的，或在无限精度条件下，它们的输入输出特性相同，但是当计算精度受到限制时，这两种结构的特性可能会大不一样，这就需要我们恰当的选择合适的网络结构来实现系统。,首先，我们介绍实现线性时不变系统所需的三种基本运算单元及其信号流图表示,一、网络的信号流图表示,1,、三种基本的信号处理单元,（,1,）加法器,（,2,）常数乘法器,（,3,）延时单元,2,、系统的信号流图表示,信号流图是连接节点的有向支路构成的网络。,以上三种基本的信号处理单元就是以信号流图的形式给出的,和节点相联系的是变量或叫,节点值,，连接两个节点之间的线段叫支路，画在支路上的箭头表明信号的流向，从某个节点到另一个节点。,每个支路都有一个输入信号和一个输出信号,，箭头起始端的节点上的变量值就是输入信号，而箭头指向端的节点上的变量值就是输出信号，输入和输出变量之间的关系由支路的,变换法则,确定。,例如：一个二阶系统的系统函数为,对应的差分方程为,用加法器、常数乘法器和延时单元这三种基本运算单元可以将该二阶系统表示成信号流图,注意：,1,、信号流图中的节点既可以表示加法器，也可以表示分支点。所谓加法器,是指每个节点上的变量值都等于进入该节点的所有支路输出之和；所谓,分支点是指从某一节点引出的所有支路，其输入量都相等，即为该节点,上的变量值。,2,、信号流图所表示的是系统的运算结构，而不是系统实现的具体电路。,二、信号流图的转置定理,如果将一个系统的信号流图其中所有的支路反向，并将输入和输出位置互换，那么倒转后的流图和原来的流图传递函数相同,例,1,：一个一阶系统，它的传递函数是,对应的差分方程为,则其信号流图如下,将其转置后有,再按输入在左输出在右的习惯可以画成,例,2,：以上二阶系统，按转置定理可以画为,再按输入在左，输出在右的常规习惯，可以画成,通过加入变量,w(n),，计算该系统的系统函数，可以得出与原系统相同的结果,由以上例题可见，一个系统可以由不同的网络结构实现，在选择不同的网络结构时，我们需要权衡考虑诸多方面的因素，最主要的就是数字计算的复杂程度和硬件实现的花销。一般最希望网络中乘法器和延时支路尽可能少，这是因为乘法运算花费的时间较长，减少乘法器意味着提高运算速度，而一个延时单元就相当于采用一个寄存器，减少延时单元就意味着减少存储电路。另一方面，在用硬件实现数字滤波器时，有限寄存器长度,(,有限计算精度,),和滤波器结构关系密切，所以有时候希望选用对有限字长效应的影响敏感度较低的网络结构，而宁愿舍弃乘法器和延时单元少的结构。下面我们将介绍一些常用的网络形式，对,IIR,系统和,FIR,系统分开讨论。,三、无限长单位冲激响应(IIR),系统的网络结构,如果一个离散时间系统的单位抽样响应,h(n)延伸到无穷长,即n时,h(n)仍有值,这样的系统称作IIR系统(既有零点又有极点,零极点模型),1,、直接形式,一个,IIR,线性时不变系统可以用差分方程表示为,对应的系统函数是,显然,H(Z),可以写成,由于一个级联的线性非时变系统，其总的输入输出关系和子系统的级联顺序无关，因此将上式直接画为网络结构有两种等效的形式,由第二张图知，两行延时支路有相同的输入，因此可以将两行并成一行，这样在实现中就节省了个寄存器，对应的信号流图如下,2,、级联形式,由系统函数,可以得到直接形式的网络结构，现将系统函数的分子分母做因式分解如下,其中,如果将级联的实现看成如下的表达式,那么对应的网络结构图为,在上图中，我们假设,L=3,，且将零点和极点分别两两配对构成二阶的子系统，最后级联以实现,H(Z),。如果有奇数个零点，则系数 有一个为零；如果有奇数个极点，则系数 有一个为零。,采用级联的形式具有相当大的灵活性，可以适当的对零极点进行配对，组合成子系统，以满足系统要求，并且可以通过调整系数 ，和 来减少有限字长效应的影响。对于组和好的子系统其级联的顺序也可以随意选择，并且在用数字硬件或软件实现时，只要设计一个网孔（二阶子系统）程序，通过分时调用的方式就可以实现对其他子系统的处理。,另外，注意到每个子系统我们都采用了最少存储单元的实现结构，因此采用级联的形式也有助于节省存储空间。,2,、并联形式,对系统函数的分母做因式分解，并将其展开为部分分式和的形式为,如果 ，则没有最后一项。由上式可见，,H(Z),可以分解为一阶和二阶系统的并联组合，如果部分分式展开为,对应的网络流图如下,在上图中，我们假设,N,2,=3,，且将极点两两配对构成二阶的子系统，最后并联的方式以实现,H(Z),。如果有奇数个极点，则再并入一个一阶系统即可。和级联形式类似，采用并联的结构可以灵活的将极点进行两两配对组合成子系统，并且可以通过调整系数 ，和 来减少有限字长效应的影响。此外可以用较少的存储单元实现。,4,、转置形式,根据转置定理，以上直接形式，级联形式和并联形式的,IIR,网络结构都由其对应的转置形式，以直接形式为例，画图如右,:,四、,FIR,系统的网络结构,前面讨论了,IIR,的网络结构，,IIR,的实现必然需要涉及递归计算，而对于,FIR,系统而言，它的实现一般是非递归算法，若,FIR,的系统函数如下,如果,FIR,的冲激响应长度为,N,，那么,H(Z),就是,Z,-1,的,N-1,次多项式，在,z=0,处有一个,N-1,阶的极点，并有,N-1,个零点。,FIR,的实现结构也有多种形式，下面介绍其最重要的几种网络结构,1,、直接形式,若,FIR,的系统函数为 ，则相应的差分方程为 ，该式我们通常称为卷积和公式，由此，我们可得如下直接形式的网络结构。,2,、级联形式,将系统函数做因式分解，若得到,则可以画出如下的网络结构,FIR,系统级联形式的优点同,IIR,系统的级联形式,3,、转置形式,根据转置定理，可以得出与直接形式和级联形式等效的转置形式，以直接形式为例，有,3,线性相位,FIR,系统的网络结构,由于线性相位,FIR,滤波器的系数 ，因此直接形式的网络只需要,N/2(N,为偶数,),或,(N+1)/2(N,为奇数,),次乘法，相比于普通,FIR,直接形式结构的乘法次数,N,次减少了一半左右。当 时，,FIR,系统的直接形式的网络结构如下：,(1).N,为偶数时,(2).N,为奇数时,当 时，只要在第二排的支路上乘以,-1,即可。,对系统函数,H(Z),做因式分解，可以发现，当,FIR,冲激响应系数为实数时，,H(Z),的零点按复共轭成对出现，即如果 是,H(Z),的零点，那么 也是零点；当,FIR,系数具有关系 时，,H(Z),的零点按反演镜像的关系出现，即如果 是,H(Z),的零点，那么 也是零点,因此，零点的出现有四种情况,(a).,当零点 出现在实轴上时，因此存在一对零,点 和,1/,(b).,当零点出现在单位圆圆周上时，因此存在一,对零点 和,(c).,当零点 时，,，因此零,点单个存在,(d).,当零点即不在单位圆上，,也不在实轴上时，如果,是,H(Z),的零点，那么 ，,和 都是,H(Z),的零点，,即零点,4,个一组的存在。,零点图如右所示：,