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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 6 讲 不等式的证明,常用的证明不等式的方法,(1)比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差变形,判断结论为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为,一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，,也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负,(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数,与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等,式，这个证明方法叫综合法利用某些已经证明过的不等式和,不等式的性质时要注意它们各自成立的条件,第一页，编辑于星期六：七点 二十八分。,综合法证明不等式的逻辑关系是：,A,B,1,B,2,B,n,B,，,及从已知条件,A,出发，逐步推演不等式成立的必要条,件，推导,出所要证明的结论,B,.,(3)分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立,的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备,的问题，即“执果索因”综合过程有时正好是分析过程的逆,推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写,出证明过程,(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式,A,B,，先假设,A,B,，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定,A,B,.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有,“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可,以考虑用反证法,第二页，编辑于星期六：七点 二十八分。,(5)放缩法：要证明不等式,A,0，且,a,1，若,P,log,a,(,a,3,1)，,Q,log,a,(,a,2,1)，,则,P,与,Q,的大小关系为(,),A,A,P,Q,B,P,Q,C,P,Q,A,b,c,时，前两项为正，最后一项为负，如何使得三项,之和为正，成为问题的关键，需采用“拆”的技巧，把第三项,并入前两项中去，于是想到,ca,(,c,a,),ca,(,c,b,)(,b,a,),ca,(,c,b,),ca,(,b,a,)，问题便迎刃而解,证明：,左一右,ab,(,a,b,),bc,(,b,c,),ca,(,c,a,),ab,(,a,b,),bc,(,b,c,),ca,(,c,b,)(,b,a,),a,(,a,b,)(,b,c,),c,(,b,c,)(,b,a,),(,a,b,)(,b,c,)(,a,c,),例 1：,已知：,a,b,c,，求证：,a,2,b,b,2,c,c,2,a,ab,2,bc,2,ca,2,.,第六页，编辑于星期六：七点 二十八分。,a,b,c,，(,a,b,)(,b,c,)(,c,a,)0.,因此：,a,2,b,b,2,c,c,2,a,ab,2,bc,2,ca,2,.,比较法证不等式步骤可归纳为：,第一步：作差并化简，其化简目标应是,n,个因式之积或完,全平方式或常数的形式,第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论,第三步：得出结论,第七页，编辑于星期六：七点 二十八分。,【互动探究】,证明：,a,b,1，,ax,2,by,2,(,ax,by,),2,ax,2,by,2,a,2,x,2,2,abxy,b,2,y,2,a,(1,a,),x,2,b,(1,b,),y,2,2,abxy,abx,2,bay,2,2,abxy,ab,(,x,y,),2,.,又,a,、,b,R,+,，,ab,(,x,y,),2,0.,ax,2,by,2,(,ax,by,),2,.,第八页，编辑于星期六：七点 二十八分。,考点,2,综合法,第九页，编辑于星期六：七点 二十八分。,第十页，编辑于星期六：七点 二十八分。,【互动探究】,第十一页，编辑于星期六：七点 二十八分。,1,b,1,a,考点,3,反证法,例,3,：,已知,a,0，,b,0，且,a,b,2.求证：,1,b,a,，,1,a,b,中至少,解题思路：,由于题目,结论是：至少有一个小于 2，情况较复,杂，讨论起来比较繁，宜采用反证法,证明：,假设,1,b,a,，,1,a,b,都不小于 2，则,1,b,a,2，,1,a,b,2.,a,0，,b,0，1,b,2,a,1,a,2,b,，,两式相加可得 1,b,1,a,2(,a,b,)，,即,a,b,2，这与已知,a,b,2 矛盾故假设不成立,因此：,，,a b,，中至少有一个小于 2.,有一个小于 2.,第十二页，编辑于星期六：七点 二十八分。,从正难则反的角度考虑，即要证明不等式,A,B,，,先假设,A,B,，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定,A,B,，,凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、,“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法,【互动探究】,3若 0,x,、,y,、,z,B,，可适当选择一个,C,，使得,C,B,，,反之亦然主要应用于不等式两边差异较大时的证明一般的,放缩技巧有：,分式放缩：固定分子，放缩分母；固定分母，放缩分子,多见于分式类不等式的证明；,添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，多见于,整式或根式配方后需要放缩的不等式的证明,第十五页，编辑于星期六：七点 二十八分。,【互动探究】,第十六页，编辑于星期六：七点 二十八分。,第十七页，编辑于星期六：七点 二十八分。,第十八页，编辑于星期六：七点 二十八分。,用分析法论证“若,A,则,B,”这个命题的模式是：,欲证命题,B,为真，只需证明命题,B,1,为真，从而又只需证明命题,B,2,为真，从而又只需证明命题,A,为真，今已知,A,真，故,B,必真简写为：,B,B,1,B,2,B,n,A,.,论中正确的是(,),D,A(,a,1)(,c,1)0,C,ac,1,B,ac,1,D,ac,1,解析：,若 1,a,b,c,，,f,(,x,)|lg,x,|lg,x,单调递增，,f,(,a,),f,(,b,),f,(,c,)，,不成立，,若 0,a,b,c,f,(,b,),f,(,c,)，不成立，故 0,a,1，,由,f,(,a,),f,(,c,)得：lg,a,lg,c,，即 lg,ac,0，0,ac,1.,【互动探究】,5设,f,(,x,)|lg,x,|，若 0,a,b,f,(,c,),f,(,b,)，则下列结,第十九页，编辑于星期六：七点 二十八分。,2数学归纳法：当不等式是一个与自然数,n,有关的命题，,可以利用数学归纳法进行证明,3构造法：在不等式的证明中，可根据不等式的结构特点，,恰当的,构造一个与不等式相关的数学模型，如构造函数、方程、,数列、向量等，实现问题的转化，从而使不等式得到证明,第二十页，编辑于星期六：七点 二十八分。,
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