传热学V4-第四章-导热数值解法课件

,传热学 Heat Transfer,单击此处编辑母版文本样式,第二级,Shanghai Jiao Tong University,SJTU-OYH,第四章热传导问题的数值解法,第四章热传导问题的数值解法,传热学 Heat Transfer,导热问题研究的目的,热流量,温度分布,强化/减弱导热的措施,导热问题研究的基本方法,理论分析法,数值计算法,实验方法,有限差分法,分子动力学模拟法,边界元法,有限元法,有限差分法的基本思想,：用有限小的差分、差商近似代替无限小的微分、微商，用代数形式的差分方程近似代替微分方程，并通过求解差分方程求取有限时刻物体有限节点上的温度值。,传热学 Heat Transfer导热问题研究的目的热流量温,传热学 Heat Transfer,数值计算方法的基本思想,将时间、空间坐标系中连续的物理量场，用有限离散点上数值的集合来代替，并通过求解离散点物理量组成的代数方程来求解，所得的解称为数值解。,1,2,6,3,4,5,数值计算方法的优点：,多维,变物性,复杂几何形状,复杂边界,传热学 Heat Transfer 数值计算方法的基本思想将,二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题,传热学 Heat Transfer,Step-1:控制方程及边界条件,二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题传热学 Heat,二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题,传热学 Heat Transfer,Step-2:计算域离散化,x,y,n,m,(m,n),M,N,基本概念：,网格线,节点（内节点、边界节点）,控制容积,界面线,步长,均匀/非均匀网格,二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题传热学 Heat,二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题,传热学 Heat Transfer,Step-3:建立节点离散（代数）方程,基本方法：,Taylor（泰勒）级数展开法,控制容积平衡法(热平衡法),内节点,边界节点,平直边界节点,边界内节点,边界外节点,二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题传热学 Heat,传热学 Heat Transfer,内节点离散方程的推导（,泰勒级数展开法,）,1.对相邻节点写出温度 t 对内节点(m,n)的泰勒级数展开式,x,:(m,n)的相邻节点为(m+1,n),(m-1,n),y,:(m,n)的相邻节点为(m,n+1),(m,n-1),X方向,传热学 Heat Transfer内节点离散方程的推导（泰勒,传热学 Heat Transfer,内节点离散方程的推导（,泰勒级数展开法,）,2.整理得到二阶导数的中心差分,截断误差：,级数余项中的,x,的最低阶数为2,即中心差分格式具有二阶精度。,3.由控制方程得到内节点(m,n)的离散代数方程,中心差分,传热学 Heat Transfer内节点离散方程的推导（泰勒,传热学 Heat Transfer,内节点离散方程的推导（,热平衡法,）,基本思想,：,对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。,从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热,控制体内能的增量,稳态、无内热源时：,从所有方向流入控制体的总热量0,传热学 Heat Transfer内节点离散方程的推导（热平,传热学 Heat Transfer,内节点离散方程的推导（热平衡法）,(m,n),o,y,x,(,m,-1,n),(m+1,n),(m,n-1),x,x,y,y,(m,n+1),对控制体每个界面线（图中虚线）应用傅立叶导热定律。,传热学 Heat Transfer内节点离散方程的推导（热平,传热学 Heat Transfer,传热学 Heat Transfer,传热学 Heat Transfer,Step-3:建立节点离散（代数）方程,基本方法：,Taylor（泰勒）级数展开法,控制容积平衡法(热平衡法),内节点,边界节点,平直边界节点,边界内节点,边界外节点,为什么要建立,边界节点,的离散方程？,一类边界条件：方程组封闭，可直接求解,二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭,将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用q,w,表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用,表示内热源。,传热学 Heat TransferStep-3:建立节点离,边界节点离散方程的推导（热平衡法）：,传热学 Heat Transfer,二维矩形域内稳态、常物性的导热问题,从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0,平直边界节点,边界节点离散方程的推导（热平衡法）：传热学 Heat Tra,边界节点离散方程的推导（热平衡法）：,传热学 Heat Transfer,二维矩形域内稳态、常物性的导热问题,从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0,边界外角点,边界节点离散方程的推导（热平衡法）：传热学 Heat Tra,边界节点离散方程的推导（热平衡法）：,传热学 Heat Transfer,二维矩形域内稳态、常物性的导热问题,从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0,边界内角点,边界节点离散方程的推导（热平衡法）：传热学 Heat Tra,边界节点离散方程的两个具体问题：,传热学 Heat Transfer,边界热流密度的具体处理方法,绝热边界,第二类边界,第三类边界,不规则边界的处理方法,多段折线模拟不规则边界，网格越密越接近实际,坐标变换：保角变换,边界节点离散方程的两个具体问题：传热学 Heat Trans,建立节点离散方程的,泰勒级数法,与,热平衡法,的比较：,泰勒级数法属于纯数学方法，而热平衡法基于能量守恒原理，物理概念明确，且推导过程简捷；,泰勒级数法对于建立边界节点的离散方程较困难；,当导热物体物性或内热源不均匀时，泰勒级数法不适用，而热平衡法能够方便处理。,传热学 Heat Transfer,Step-4:设置温度场的迭代初值,建立节点离散方程的泰勒级数法与热平衡法的比较：传热学 Hea,n,个未知节点温度，,n,个代数方程式：,Step-5:节点离散（代数）方程的求解,传热学 Heat Transfer,直接解法,迭代解法,直接解法,：矩阵求逆、高斯消元法等,缺点：,所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的导热系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）,n个未知节点温度，n个代数方程式：Step-5:节点离散（,迭代解法,：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等,先对要计算的场作出假设（给定初始值）、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。,Step-5:节点离散（代数）方程的求解,传热学 Heat Transfer,Gauss-Seidel迭代法,：每次迭代时总是使用节点温度的最新值,迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法,在计算后面的节点温度时应采用最新值：,根据第,k,次迭代的数值：,传热学 Heat Transfer,Step-5:节点离散（代数）方程的求解,Gauss-Seidel迭代法,在计算后面的节点温度时应采用最新值：根据第 k 次迭代的数值,传热学 Heat Transfer,Step-5:节点离散（代数）方程的求解,Gauss-Seidel迭代法,判断迭代是否收敛的准则：,or,or,为允许的偏差，一般取10,-3,10,-6,为k次迭代得到的计算域温度最大值,计算域温度存在近于0的值时采用,传热学 Heat TransferStep-5:节点离散（,传热学 Heat Transfer,Step-5:节点离散（代数）方程的求解,Gauss-Seidel迭代法,如何判断数值解的准确性？,三个检验标准,：实验验证、精确分析解验证、特定问题的基准解验证,数值计算中偏差,总是存在的，增加节点数目可以减小误差。,计算网格独立性。,如何避免迭代发散？,必须满足,对角占优,原则：每个迭代变量的系数总大于/等于该式中其它变量系数,绝对值的代数和 (参考教材,例题4-1,),Step-6:解的分析,传热学 Heat TransferStep-5:节点离散（,传热学 Heat Transfer,4-4 非稳态导热问题的数值解法,非稳态项,稳态项（扩散项）,源项,由于非稳态项的存在，除了对空间坐标离散外，还需要对时间坐标进行离散处理。,稳态扩散项的离散格式：中心差分格式,非稳态项的离散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式,传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的,传热学 Heat Transfer,t,f,h,t,f,h,x,t,0,平板加热问题,第三类边界条件,一维非稳态导热微分方程及定解条件：,边界条件,初始条件,4-4 非稳态导热问题的数值解法,传热学 Heat Transfertftfxt0平板加热,传热学 Heat Transfer,4-4 非稳态导热问题的数值解法,向前差分格式,向后差分格式,中心差分格式,非稳态项的离散格式的构造：,泰勒级数展开法,x 为空间步长 为时间步长,偏微分方程,离散化代数方程,非稳态项向前差分,扩散项中心差分,点（,n,i,）,传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的,传热学 Heat Transfer,4-4 非稳态导热问题的数值解法,非稳态项的离散格式的构造：,热平衡法,从所有方向流入控制体的总热量 控制体内能的增量,内节点,n,传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的,传热学 Heat Transfer,4-4 非稳态导热问题的数值解法,非稳态项的离散格式的构造：,热平衡法,左边对称绝热边界,传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的,传热学 Heat Transfer,4-4 非稳态导热问题的数值解法,非稳态项的离散格式的构造：,热平衡法,右边第三类边界,传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的,传热学 Heat Transfer,4-4 非稳态导热问题的数值解法,显示格式存在,稳定性,问题：如果节点,t,n,(i),前面的系数小于零，则数值解出现不稳定的震荡结果。,显示格式,2,显示格式：格式右边全部为第,i,时间层的温度值，只要,i,时间层温度已,知，即可计算得到,i+1,时间层的温度。,非稳态导热节点离散方程的两种格式：,即：空间步长x和时间步长,的选取有限制,显示格式的稳定性条件：,传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的,传热学 Heat Transfer,4-4 非稳态导热问题的数值解法,隐式格式,非稳态导热节点离散方程的两种格式：,隐式格式：空间离散采用（,i+1,）时层的值。,隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。,传热学 Heat Transfer 4-4 非稳态导热问题的,传热学 Heat Transfer,导热问题的数值计算上机实践,例题4-6 无限大平板的一维非稳态导热问题数值计算,（1）自主编程，编程语言自定，最后提交源程序,（2）提交电子报告（word格式），包括：,（a）给出空间离散示意图（网格划分）,（b）节点离散方程（显示、隐式皆可）,（c）图示温度分布（可以利用origin或matlab）,（d）分析空间步长和时间步长对计算结果的影响,例题4-5 二维肋片稳态导热问题的数值计算,（1）自主编程，编程语言自定，最后提交源程序,（2）提交电子报告（word格式），包括：,（a）给出空间离散示意图（网格划分）,（b）节点离散方程,（c）图示温度等值线（可以利用origin或matlab）,传热学 Heat Transfer导热问题的数值计算上机实践,传热学 Heat Transfer,