重积分应用ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第五节,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,重积分的应用,第九章,第五节一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体,1,一、问题的提出,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,若要计算的某个量,U,对于闭区域,D,具有可加性(即当闭区域,D,分成许多小闭区域时，所求量,U,相应地分成许多部分量，且,U,等于部分量之和)，并且在闭区域,D,内任取一个直径很小的闭区域,时，相应地部分量可近似地表示为,的形式，其中,在,内这个,的,元素,，记为,称为所求量,U,，,所求量的积分表达式为,一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,2,二、立体体积,则其体积为,曲顶柱体,的顶为连续曲面,占有,空间有界域,的立体的体积为,二、立体体积则其体积为 曲顶柱体的顶为连续曲面 占有空间有界,3,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 平面上的投影域为,解解方程组得两曲面的交线为圆周在 平面上的投影域为,4,则立体体积为,把体积表达为二重积分时，被积函数是上面的边界面减去下面,的边界面，积分区域是立体在,xOy,坐标面上的投影,则立体体积为把体积表达为二重积分时，被积函数是上面的边界面减,5,解,解,6,重积分应用ppt课件,7,例,3,.,求半径为,a,的球面与半顶角为,的,内接锥面所围成的立体的体积,.,解,:,在球坐标系下空间立体所占区域为,例3.求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立,8,则立体体积为,则立体体积为,9,设曲面的方程为：,如图，,三、曲面的面积,设曲面的方程为：如图，三、曲面的面积,10,.,ds,dA,dA,ds,s,z,d,，则有,为,截切平面,为,柱面，截曲面,轴的小,于,边界为准线，母线平行,以,S,s,；,.dsdAdAdsszd，则有为截切平面为柱面，截曲面轴的,11,曲面,S,的面积元素,曲面面积公式为：,曲面S的面积元素曲面面积公式为：,12,设曲面的方程为,：,曲面面积公式为,：,设曲面的方程为,：,曲面面积公式为：,同理可得,设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面,13,解,解,14,重积分应用ppt课件,15,2a,a,.,L,2a,0,x,y,z,例,4,求由,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,2aa.L2a0 xyz 例4求由解解方程组得两曲面的交线为圆,16,0,x,z,y,.,L,D,.,.,.,a,2a,.,在 平面上的投影域为,0 xz y.LD.a2a.在 平面上的投影域为,17,重积分应用ppt课件,18,重积分应用ppt课件,19,四、平面薄片的重心,四、平面薄片的重心,20,由元素法,由元素法,21,当薄片是均匀的，重心称为,形心,.,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,公式,即,:,采用,元素法,可导出其质心,当薄片是均匀的，重心称为形心.设物体占有空间域 ,有连续,22,重积分应用ppt课件,23,则得,形心坐标,：,则得形心坐标：,24,例,5.,求位于两圆,和,的形心,.,解,:,利用对称性可知,而,之间均匀薄片,例5.求位于两圆和的形心.解:利用对称性可知而之间均匀,25,五、平面薄片的转动惯量,五、平面薄片的转动惯量,26,薄片对于,轴,的,转动惯量,薄片对于,轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量,27,类似可得空间立体,:,对,x,轴的转动惯量,对,y,轴的转动惯量,对原点的转动惯量,对,z,轴 的转动惯量,:,类似可得空间立体 :对 x 轴的转动惯量对 y 轴,28,解,解,29,解,:,取球心为原点,z,轴为,l,轴,则,例,7.,求均匀球体对于过球心的一条轴,l,的转动惯量,.,设球,所占域为,(,用球坐标,),解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则例7.求均匀球体对,30,解,解,31,重积分应用ppt课件,32,薄片对,轴上单位质点的引力,五、平面薄片对质点的引力,薄片对 轴上单位质点的引力五、平面薄片对质点的引力,33,为引力常数,为引力常数,34,解,由积分区域的对称性知,解由积分区域的对称性知,35,所求引力为,所求引力为,36,例,9.,求半径,R,的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力,.,解,:,利用对称性知引力分量,点,例9.求半径 R 的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:,37,重积分应用ppt课件,38,几何应用：曲顶柱体的体积、曲面的面积,物理应用：重心、转动惯量、,对质点的引力,（注意审题，熟悉相关物理知识）,六、小结,几何应用：曲顶柱体的体积、曲面的面积物理应用：重心、转动惯量,39,思考题,思考题,40,薄片关于 轴对称,思考题解答,薄片关于 轴对称思考题解答,41,练 习 题,练 习 题,42,重积分应用ppt课件,43,练习题答案,练习题答案,44,