第5章+振动与波课件

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,5,章 振动与波,(V,ibration,and Wave),5.1,简谐振动的动力学特征,5.2,简谐振动的合成,5.3,波的概念与简谐波,5.4,反射、折射、叠加、驻波,第 5 章 振动与波,5.1,简谐振动的动力学特征,(,The kinetic characteristics of simple harmonic vibration,),一、振动及分类,振动：,物理量在某值附近往复变动,(,运动,),分类：,按策动力,自由振动 受迫振,按阻尼,无阻尼振动 有阻尼振动。,5.1 简谐振动的动力学特征(The kinetic,微分方程,二、动力学方程及求解,弹簧振子模型,线性回复力,:,微分方程,:,即,其中,x,x,o,F,m,微分方程 二、动力学方程及求解弹簧振子模型,2.,通解,令,:,得本征方程,如此,线性系统无阻尼自由振动,简谐振动,此时振幅、初相位,速度、加速度为,讨论：算符,等于什么？,2.通解 令:得本征方程如此 线性系统无阻尼自由振动,例,.,K,=1.6 N/m,，,m,=0.1kg,(1),平衡处向,x,击打,使初速,=0.628 m/s,；,(2),拉到,x,=0.08m,处放手。,求,:,x,(,t,).,=,0 A=0.08m,x(t)=0.08 cos4,t,解：,得,(1),(2),得,例.K=1.6 N/m，m=0.1kg ,3.,总结,x,t,t,t,0,+T,t,0,-,+2,-,A,-A,x,0,振动曲线,o,x,A(t=0),A(t),o,x,A,2,2,/3,-2,/3,A,1,简谐振动,：物理量与时间,t,为余,(,正,),弦函数关系,则称该物理量在做简谐振动,振幅矢量图表示法,振幅矢量,A,以,旋转,A,在,x,轴投影为,x,(,t,),优点：,A,运动方向,直观,;,比较和合成方便,规定：简谐振动用,A,(0),表示,规定取余弦形式,(,与复数形式对应,).,位相,3.总结 x t tt0+Tt0-+2-A-,5.2,简谐振动的合成,(,The Synthesis of simple harmonic vibration,),一个线性系统可以同时存在两个或多个简谐振动,.,系统的实际振动就是这些简谐振动的合成,一、线性系统的迭加原理,若,x,1,x,2,(,同频,),是解,(,满足方程,),，则,x,=,x,1,+,x,2,也是解,无阻尼自由振动,5.2 简谐振动的合成(The Synthesis o,一、同频同振动方向,(,标量,),简谐振动的合成,振动方向皆为,x,方向,x,2,1,A,A,2,A,1,令,:,振幅矢量,得,讨论：,一、同频同振动方向(标量)简谐振动的合成振动方向皆为x方向x,二、同振动方向不同频,(,标量,),简谐振动的合成 拍,1.,合成,令,:,取,1,=,2,=0,，对不同频,不重要,通过选,t,零点可使,=0,则,:,，,二、同振动方向不同频(标量)简谐振动的合成 拍1.合,拍的定义,得,t,x,T,A,T,T,拍,A,(,t,),2.,拍,拍的定义得TT拍2.拍,三、振动方向互相垂直相同频率简谐振动的合成,1.,同频,展开,得,质点参与互垂的两个谐振动,x,(,t,),、,y,(,t,),做平面运动,r,(,t,)=,x,(,t,),i,+,y,(,t,),j,消去,三、振动方向互相垂直相同频率简谐振动的合成1.同频展开得质,P,y,x,A,2,A,1,(1),判椭圆长轴方向。矢径端点旋转方向,(,光学,),P,点,:,x,P,=,A,1,cos,1,=,A,1,cos,y,P,=,A,2,(,2,=2,n,1,=2,n,),0 P,在,I,象限,长轴在,I,、,III,象限,/2,x,P,0,右旋,(,顺时针,),(,0),v,P x,0,左旋,(,逆时针,),(2),特例,=0,y,/,x,=,A,2,/,A,1,直线运动谐振,=,/2,x,2,/,A,1,2,+,y,2,/,A,2,2,=1,正椭圆,y,x,A,2,A,1,=,=0,(,若,A,1,=A,2,为圆,),yA2A1(2)特例yA1(若A1=A2为圆),2,.,频率不同,利萨如图,x,=,A,1,cos(,1,t,+,1,),y,=,A,2,cos(,2,t,+,2,),1,:,2,=,整数比 时 矢径端点轨迹为闭合曲线,利萨如图,1,=,1,=3,/4,1,=,/2,1,=,/4,1,=0,图形与频率关系,:,沿图形一周,在,x,方向上达到最大值的次数之比等于,1,、,2,之比,例,2.,1,:,2,=2:1,例,1.,1,:,2,=3:2,2,=0,2.频率不同利萨如图 图形与频率关系:沿图形,作业,思考题,9.2,9.7,习题,9.2.2,9.4.1,作业思考题,5.3,波的概念与简谐波方程,(,The concept of wave and simple harmonic,wave equation,),一、波的概念,波动：,最常见的物理现象，贯穿于声、光、电、热,.,任何物理量随时间、地点的变化满足波动方程,称此物理量做波动,讨论机械波,(,一维,),。连续介质受到作用后内部的整体反响,波动,:,各个质点在平衡位置附近振动，彼此的振动互相关联,;,振动状态和能量随波传播。,波的传播速度,波速,v,;,质点振动速度,u,;,质点位移,横波,：,u,v,;,纵波,:,u,/,v,5.3 波的概念与简谐波方程(The concept,二、简谐波的描述,简谐波,波上各点都做简谐振动的波。,波长,=,v T,或,v,=,周期,T,频率,描述简谐波,：任意点处振动,z,;,任意时刻波形,t,(,一维,),波的表达式,:,=,(z,t),投影,=,(,z,t,),波形图,t,：纵波画图。,z,疏,密,疏,纵波波形图,平衡位置,实际位置,二、简谐波的描述简谐波波上各点都做简谐振动的波。,z,z,1,z,z,0,1.,一维平面简谐波表达式,简谐波的传播可看作位相波形的传播,A.,位相的传播,位相,=,t,+,若上游与下游距离,则,上,下,=2,若上游与下游距离,l,则,上,下,=2,l,/,z,0,点,(,参考点,),振动,(,z,0,t,)=,A,cos(,t,+,0,)=,A,cos,(,z,0,),(2),向,z,方向传播,z,0,下游,z,上游,(,z,),(,z,0,)=,k,(,z,z,0,),(,z,t,)=,A,cos,(,z,)=,A,cos(,t,+,k z,+,),=,0,k z,0,(1),向,+,z,方向传播,(,z,0,),(,z,)=k(z,z,0,)=2(z,z,0,)/,.,(,z,t,)=,A,cos,(,z,)=,A,cos(,t,k z,+,),=,0,+,kz,0,(,波数,1/,为单位长度上波的数目,),z 1.一维平面简谐波表达式 z0点(参考点)振动,2,平面简谐波表达式,表达式,(,z,t,)=,A,cos(,t,k z,+,),“+”:,向,z,传播,;“,”:,向,+,z,传播,.,以,+,z,方向传播为例,z,0,处振动：,(,z,0,t,),=A,cos(,t+,k z,0,),t,0,时刻波形：,(,z,t,0,),=A,cos(,k z,t,0,),唯一的确定的波动状态,:,t,kz,+,=,常数,记为,0,(1),取,=0,则,0,=0,为,t,=0,时刻原点处峰,t,=,T,时刻到达,z,=,处,0,=,为,t,=0,时刻,z,=,/2,处峰,t,=,T,/2,时刻到原点,(2),z,=(,t,+,0,)/,k,同一状态的,z,、,t,关系,t,z,同一波动状态随时间向右传播。,=,v,v,为位相传播速度,相速度。,(3)d,z,/d,t,=,2 平面简谐波表达式=v,v为位相传播速度相,3.,平面波与球面波,三维空间传播的谐波,A.,相关概念,波线,(,波射线,ray),：沿波传播方向的有向曲。,波面（波阵面）：同一时刻波到达地点,(,平衡位置,),构成的面。对简谐波，为位相相同点构成的面（同相面）。,波前,:,最前面的波面；各向同性介质中波线垂直波面。,球面波：波面为同心球面,(,距波源足够远处,),。,平面波：波面为平行平面,(,小范围球面波,),。,3.平面波与球面波三维空间传播的谐波,z,z,v,y,x,r,k,z,r,y,x,r,0,r,B.,平面简谐波 沿,z,方向传播,(,r,t,)=,A,cos,(,t,kz,+,),换成,(,x,y,z,),波矢,k,=,k,z,=,k,则,kz,=,k,r,=,k,x,x,+,k,y,y,+,k,z,z,，,与坐标系无关,任意坐标系,(,r,t,)=,A,cos,(,t,k,r,+,),特点：振幅不变,;,k,为常矢,;,同相面为平面,C.,球面简谐波,cos(,t,kr,+,),，,=,0,+,kr,0,能量密度,r,2,振幅,A,(,r,),r,1,令,A,(,r,)=,a,/,r,(,a,为正常数,),位相关系：同一波线上,(,r,0,),(,r,)=,k,(,r,r,0,),已知,(,r,0,)=,t,+,0,(,r,t,)=,A,(,r,)cos,(,r,)=,zzv r z yB.平面简谐波,4.,简谐波的复数表示,.,复振幅,(,r,t,)=,A,cos(,t,k,r,+,),=,Re,A,e,i,(,t,k,r,+,),=,记为）,A,e,i,(,t,k,r,+,),(,r,t,)=,cos(,t,k,r,+,),=,Re,A,(,r,),e,i,(,t,k,r,+,),=,（记为）,A,(,r,)e,i,(,t,k,r,+,),统一为：,A,(,r,)e,i,(,r,),e,i,t,=,U,(,r,),e,i,t,线性运算,(,迭加、分解、微积分,),都可以用复数形式,结果取实部,4.简谐波的复数表示.复振幅(r,t)=Aco,波的,T,由波源决定,波速,v,由介质决定。,1,弦上横波,三、波动方程与波速,均匀柔弦,(,仅拉应力,).,上下小振动,.,线密度,.,对小段,m,T,1,T,2,，,sin,tan,=,/,z,z,z,z,2,z,1,c,T,T,T,2,2,1,T,1,o,m,(,2,c,/,t,2,)=,T,2,sin,2,T,1,sin,1,m,=,z,T,1,T,2,sin,tan,=,/,z,z,(,2,/,t,2,)=,T,z,(,2,/,z,2,),即：,一维波动方程,波的T,由波源决定,波速v由介质决定。三、波动方程,2,一维波动方程的解,凡弦上传播,(,实现,),的波,该波动方程的解,通解：,(,z,t,)=,f,(,z,v t,)+,g,(,z,+,v t,),，,f,、,g,为任意函数,v,=,验证,:,令,u,=,z,v t,，,则：,f,/,z,=d,f,/d,u,，,f,/,t,=,v,(d,f,/d,u,)=,v,(,f,/,z,).,类似验证,g,(,z,+,vt,),是解,f,(,z,vt,),为向,+,z,传播的平面波；,g,(,z,+,vt,),为向,z,传播的平面波。,f u,坐标系中,f,(,u,),图形不变,刚性波形。,z,坐标系中,f,(,u,),图形以,v,匀速向右运动,(,z,u,=,vt,),f,(,z,-,vt,),为向,+,z,传播的平面波。,类似可说明,g,(,z,+,vt,),为向,z,传播的平面波。,f,(,z,vt,),是解,2 一维波动方程的解凡弦上传播(实现)的波 该波动方程的,5.4,反射、折射、叠加和驻波,(,The,Reflection,refraction,superposition and standing waves,),一、惠更斯原理,.,反射和折射定律,惠更斯原理不涉及波的性质以及介质性质,适用于所有情况,1.,原理,:,媒质中波传到的各点（波前）