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按一下以編輯母片標題樣式,歐亞書局,歐亞書局,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,歐亞書局,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片文字樣式,第二層,第三層,第四層,第五層,*,*,歐亞書局,微積分,精華版,第九版,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片文字樣式,第二層,第三層,第四層,第五層,凹性與二階導數檢定法,4.3,凹性與二階導數檢定法4.3,4.3 凹性與二階導數檢定法,學習目標,判斷函數圖形為凹向上或凹向下的區間。,求函數圖形的反曲點。,利用二階導數檢定法求函數的相對極值。,求投入,產出模型的報酬遞減點。,P.4-19,第四章導數的應用,4.3 凹性與二階導數檢定法學習目標P.4-19第四章導數,凹性,找出函數,f,為遞增或遞減的區間有助於圖形的製作，找出,f,遞增或遞減的區間也有助於判別,f,的圖形是凹向上或凹向下。凹向上或凹向下的性質可定義成函數圖形的,凹性,(concavity),。,P.4-19,第四章導數的應用,凹性找出函數 f 為遞增或遞減的區間有助於圖形的製作，找出,凹性,在圖,4.20,中，凹性的圖形解釋如下。,1.,曲線,高於,其切線是凹向上。,2.,曲線,低於,其切線是凹向下。,P.4-19,圖,4.20,第四章導數的應用,凹性在圖 4.20 中，凹性的圖形解釋如下。P.4-19,凹性,若要找出使得函數圖形為凹向上或凹向下的開區間，可利用以下的函數二階導數法。,P.4-19,第四章導數的應用,凹性若要找出使得函數圖形為凹向上或凹向下的開區間，可利用以下,範例,1,判斷凹性,a.,函數,f,(,x,),x,2,原函數,的圖形在整個實數線皆為凹向上，因為其二階導數,f,(,x,),2,二階導數,對於所有,x,皆為正值,(,見圖,4.21),。,P.4-20,第四章導數的應用,範例 1判斷凹性a.函數P.4-20第四章導數的應用,範例,1,判斷凹性,P.4-20,圖,4.21,第四章導數的應用,範例 1判斷凹性P.4-20 圖4.21第四章導數的應,b.,函數,原函數,的圖形對,x,0,為凹向下，因為其二階導數,二階導數,對於所有,x,0,皆為負值,(,見圖,4.22),。,範例,1,判斷凹性,P.4-20,第四章導數的應用,b.函數範例 1判斷凹性P.4-20第四章導數的應用,範例,1,判斷凹性,P.4-20,圖,4.22,第四章導數的應用,範例 1判斷凹性P.4-20 圖4.22第四章導數的應,求二階導數並討論圖形的凹性。,a.,f,(,x,),2,x,2,b.,f,(,x,),檢查站,1,P.4-20,第四章導數的應用,求二階導數並討論圖形的凹性。檢查站 1P.4-20第四章導,凹性,以下的方法可求,連續,函數在開區間之凹性,不連續函數,f,的檢定區間，應由不連續點與使,f,(,x,),0,或,f,(,x,),不存在的點所形成,。,P.4-20,第四章導數的應用,凹性以下的方法可求連續函數在開區間之凹性 不連續函數 f,求函數 之圖形為凹向上或凹向下的,開區間。,範例,2,判斷凹性,P.4-21,第四章導數的應用,範例 2判斷凹性P.4-21第四章導數的應用,首先求,f,的二階導數。,範例,2,判斷凹性,（,解,）,P.4-21,第四章導數的應用,首先求 f 的二階導數。範例 2判斷凹性（解）P.4-2,範例,2,判斷凹性,（,解,）,由上式可知,f,(,x,),對於所有實數都存在，而且在,x,1,時，,f,(,x,),0,。因此，,f,的凹性可由區間來檢定，,(,1),、,(,1,1),和,(1,),檢定區間,結果如下表所示，其圖形畫在圖,4.23,。,P.4-21,第四章導數的應用,範例 2判斷凹性（解）由上式可知 f(x)對於所有,範例,2,判斷凹性,（,解,）,P.4-21,圖,4.23,第四章導數的應用,範例 2判斷凹性（解）P.4-21 圖4.23第四章,學習提示,在範例,2,中，雖然,f,在區間,(1,),為遞減，但,f,(,x,),在該區間為遞增。請注意，,f,(,x,),的遞增減性並不一定與,f,(,x,),的遞增減性一致。,P.4-21,第四章導數的應用,學習提示在範例 2 中，雖然 f 在區間(1,)為遞減,代數技巧,範例,2,的計算過程可參考本章代數複習範例,1(a),。,P.4-21,第四章導數的應用,代數技巧範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(a),求函數 圖形為凹向上或凹向下的區間。,檢查站,2,P.4-21,第四章導數的應用,檢查站 2P.4-21第四章導數的應用,反曲點,如果圖形上某點的切線存在而且凹性發生變化，則該點稱為,反曲點,(point of inflection),。圖,4.24,則是三個反曲點的例子,(,注意，第三個圖的反曲點處有垂直切線,),。,P.4-22,第四章導數的應用,反曲點如果圖形上某點的切線存在而且凹性發生變化，則該點稱為反,反曲點,P.4-22,圖,4.24,第四章導數的應用,反曲點P.4-22 圖4.24第四章導數的應用,學習提示,如圖,4.24,所示，圖形跨過在反曲點的切線。,P.4-22,第四章導數的應用,學習提示如圖 4.24 所示，圖形跨過在反曲點的切線。P.4,反曲點,因為反曲點為圖形凹性改變的地方，因此在反曲點上,f,(,x,),的正負性也要跟著變化。所以，只需先找出,f,(,x,),0,或,f,(,x,),不存在的,x,值，即可找出可能的反曲點。此步驟與用,f,的臨界數來找,f,的相對極值之步驟是類似的。,P.4-22,第四章導數的應用,反曲點因為反曲點為圖形凹性改變的地方，因此在反曲點上 f,範例,3,求反曲點,討論,f,(,x,),2,x,3,1,的凹性，並求其反曲點。,P.4-22,第四章導數的應用,範例 3求反曲點討論 f(x)2x3 1 的凹,範例,3,求反曲點,（,解,）,二次微分後可得,f,(,x,),2,x,3,1,寫出原式,f,(,x,),6,x,2,一階導數,f,(,x,),6,x,2,二階導數,令,f,”(,x,),0,可知，唯一可能的反曲點僅會發生在,x,0,。檢定區間,(,0),和,(0,),後，就可判斷出圖形在,(,0),為凹向下，,(0,),為凹向上。由於在,x,0,時凹性的正負號也發生改變，所以,f,的圖形在,(0,1),有一個反曲點，如圖,4.25,所示。,P.4-22,第四章導數的應用,範例 3求反曲點（解）二次微分後可得 P.4-,範例,3,求反曲點,（,解,）,P.4-22,圖,4.25,第四章導數的應用,範例 3求反曲點（解）P.4-22 圖4.25第四章,檢查站,3,討論函數,f,(,x,),x,3,的凹性並求其反曲點。,P.4-22,第四章導數的應用,檢查站 3討論函數 f(x)x3 的凹性並求其反曲,範例,4,求反曲點,討論函數,f,(,x,),x,4,x,3,3,x,2,1,圖形的凹性並求反曲點。,P.4-23,第四章導數的應用,範例 4求反曲點討論函數 f(x)x4 x3,範例,4,求反曲點,（,解,）,首先計算,f,的二階導數。,f,(,x,),x,4,x,3,3,x,2,1,寫出原函數,f,(,x,),4,x,3,3,x,2,6,x,找出一階導數,f,(,x,),12,x,2,6,x,6,找出二階導數,6(2,x,1)(,x,1),因式分解,P.4-23,第四章導數的應用,範例 4求反曲點（解）首先計算 f 的二階導數。P.4-,因此，可能的反曲點在,x,和,x,1,。在檢驗區間,(,1),、,(,1,),和,(,),之後可知，圖形在,(,1),為凹向上，在,(,1,),為凹向下，而在,(,),為凹向上。圖形的凹性在,x,1,與,x,發生變化，所以,x,1,與,x,為反曲點，如圖,4.26,所示。而反曲點為,範例,4,求反曲點,（,解,）,P.4-23,第四章導數的應用,因此，可能的反曲點在 x 和 x 1。在檢驗,範例,4,求反曲點,（,解,）,P.4-23,圖,4.26,第四章導數的應用,範例 4求反曲點（解）P.4-23 圖4.26第四章,檢查站,4,討論函數,f,(,x,),x,4,2,x,3,1,圖形的凹性，並求反曲點。,P.4-23,第四章導數的應用,檢查站 4討論函數 f(x)x4 2x3 1圖,反曲點,另外，二階導數為零之處並,不一定,為反曲點。例如在圖,4.27,中，函數,f,(,x,),x,3,與,g,(,x,),x,4,的二階導數在,x,0,皆為零，但是,x,0,只有在,f,為反曲點。所以在判斷,f,(,x,),0,之處是否為反曲點時，必須先確定圖形在該點的凹性會有變化。,P.4-23,第四章導數的應用,反曲點另外，二階導數為零之處並不一定為反曲點。例如在圖 4.,反曲點,P.4-23,圖,4.27,第四章導數的應用,反曲點P.4-23 圖4.27第四章導數的應用,二階導數檢定法,二階導數可用來檢定函數,f,的相對極值：如果,f,(,c,),0,且圖形在,x,c,為凹向上，則,f,(,c,),為,f,的相對極小值；如果,f,(,c,),0,且圖形在,x,c,為凹向下，則,f,(,c,),為,f,的相對極大值,(,見圖,4.28),。,P.4-23,第四章導數的應用,二階導數檢定法二階導數可用來檢定函數 f 的相對極值：如果,二階導數檢定法,P.4-23,圖,4.28,第四章導數的應用,二階導數檢定法P.4-23 圖4.28第四章導數的應用,二階導數檢定法,P.4-24,第四章導數的應用,二階導數檢定法P.4-24第四章導數的應用,範例,5,使用二階導數檢定法,求,f,(,x,),3,x,5,5,x,3,的相對極值。,P.4-24,第四章導數的應用,範例 5使用二階導數檢定法求 f(x)3x5,範例,5,使用二階導數檢定法,（,解,）,首先計算,f,的一階導數。,f,(,x,),15,x,4,15,x,2,15,x,2,(1,x,2,),即,x,0,、,x,1,和,x,1,為,f,的臨界數，且二階導數為,f,(,x,),60,x,3,30,x,30,x,(1,2,x,2,),P.4-24,第四章導數的應用,範例 5使用二階導數檢定法（解）首先計算 f 的一階導數,範例,5,使用二階導數檢定法,（,解,）,使用二階導數檢定法可得,但由一階導數檢定法可知點,(0,0),不為相對極小值也不為相對極大值，它其實是反曲點,(,f,的圖形見圖,4.29),。,P.4-24,第四章導數的應用,範例 5使用二階導數檢定法（解）使用二階導數檢定法可得P,範例,5,使用二階導數檢定法,（,解,）,P.4-24,圖,4.29,第四章導數的應用,範例 5使用二階導數檢定法（解）P.4-24 圖4.2,檢查站,5,求,f,(,x,),x,4,4,x,3,1,的所有相對極值。,P.4-24,第四章導數的應用,檢查站 5求 f(x)x4 4x3 1 的所有,延伸應用：報酬遞減,在經濟學上，凹性的概念是與,報酬遞減,(diminishing returns),有關。考慮函數,其中,x,為投入,(,美元,),，,y,為產出,(,美元,),。,P.4-24,第四章導數的應用,延伸應用：報酬遞減在經濟學上，凹性的概念是與報酬遞減(di,延伸應用：報酬遞減,注意，在圖,4.30,中的函數圖形在區間,(,a,c,),為凹向上，在區間,(,c,b,),為凹向下，亦即在區間,(,a,c,),，再投資一美元會比之前投資的一美元得到更高的報酬；反之，在區間,(,c,b,),，再投資一美元卻會比之前投資的一美元得到更低的報酬；點,(,c,f,(,c,),稱為,報酬遞減點,(point of diminishing returns),，超過此點的增額投資常被視為不智的資金調度。,P.4-24,第四章導數的應用,延伸應用：報酬遞減注意，在圖 4.30 中的函數圖形在區間,延伸應用：報酬遞減,P.4-24,圖,4.30,第四章導數的應用,延伸應用：報酬
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