直线的倾斜角与斜率

,#,#,2019/2/2,1,2024/11/20,在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？,问题引入,x,y,O,l,P,（,x,，,y,）,为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来,问题,2,2024/11/20,对于平面直角坐标系内的一条直线,l,，它的位置由哪些条件确定？,问题引入,问题,x,y,O,l,3,2024/11/20,我们知道，两点确定一条直线一点能确定一条直线的位置吗？已知直线,l,经过点,P,，直线,l,的位置能够确定吗？,问题引入,问题,x,y,O,l,l,l,P,(1),它们都经过点,P,.,(2),它们的,倾斜程度,不同,.,4,2024/11/20,过一点,P,可以作无数条直线,l,1,，,l,2,，,l,3,，,它们都经过点,P,（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？,问题引入,问题,x,y,O,l,l,l,P,5,2024/11/20,容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述直线的倾斜程度呢？,问题引入,问题,x,y,O,l,l,l,P,6,2024/11/20,当直线,l,与,x,轴相交时，我们取,x,轴作为基准，,x,轴正向与直线,l,向上方向之间所成的角,叫做,直线,l,的倾斜角,（,angle of inclination,）,x,y,O,l,当直线,l,与,x,轴平行或重合时，规定它的倾斜角为,.,直线的倾斜角 的取值范围为：,直线的倾斜角,7,2024/11/20,直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？,平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，,倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，,度相同的直线其倾斜角相同,倾斜程,x,y,O,l,已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角,也不能确定一条直线的位置,但是，,直线上的一个,点,和这条直线的,倾斜角,可以唯一确定一条直线,直线的倾斜角,8,2024/11/20,确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：,直线上的一个,定点,以及它的,倾斜角,，,二者缺一不可,确定直线的要素,x,y,O,l,P,9,2024/11/20,日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？,前进量,升,高,量,问题引入,问题,10,2024/11/20,问题引入,问题,前进,升,高,例如，“进,2,升,3”,与“进,2,升,2”,比较，前者更陡一些，因为坡度（比）,11,2024/11/20,斜率通常用小写字母,k,表示，即,一条直线的倾斜角的正切值叫做这条,直线的斜率,（,slope,）,.,倾斜角是 的直线有斜率吗？,倾斜角是 的直线的斜率不存在,直线的斜率,如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角,的正切”,12,2024/11/20,如：倾斜角 时，直线的斜率,当 为锐角时，,如：倾斜角为 时，由,即这条直线的斜率为,直线的斜率,倾斜角,不是,90,的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度,13,2024/11/20,已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？,两点的斜率公式,问题,给定两点,P,1,（,x,1,，,y,1,），,P,2,（,x,2,，,y,2,），并且,x,1,x,2,，如何计算直线,P,1,P,2,的斜率,k,14,2024/11/20,当 为锐角时，,在直角 中,设直线,P,1,P,2,的倾斜角为,（,90,），当,直线,P,1,P,2,的方向（即从,P,1,指向,P,2,的方向）向上时，过点,P,1,作,x,轴的平行线，过点,P,2,作,y,轴的平行线，两线相交于点,Q,，于是点,Q,的坐标为（,x,2,，,y,1,）,两点的斜率公式,15,2024/11/20,当 为钝角时，,在直角 中,两点的斜率公式,16,2024/11/20,同样，当 的方向向上时，也有,两点的斜率公式,17,2024/11/20,思考？,1,、当直线平行于,x,轴，或与,x,轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？,答：成立，因为分子为,0,，分母不为,0,，,K=0,18,2024/11/20,2,、当直线平行于,y,轴，或与,y,轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？,思考？,答：不成立，因为分母为,0,。,19,2024/11/20,答：与,A,、,B,两点的顺序无关。,3,、已知直线上两点 、，运用上述公式计算直线,AB,的斜率时，与,A,、,B,的顺序有关吗？,思考？,20,2024/11/20,当直线 与 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？,经过两点 的直线的斜率公式为：,思考,成立,两点的斜率公式,21,2024/11/20,归纳：对于斜率公式要注意下面四点：,(1),当,x,1,=,x,2,时，公式右边无意义，直线的斜率 不存在，倾斜角,=90,o,，直线与,x,轴垂直；,(2),k,与,P,1,、,P,2,的顺序无关，即,y,1,y,2,和,x,1,x,2,在公 式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；,(3),斜率,k,可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；,(4),当,y,1,=,y,2,时，斜率,k,=0,，直线的倾斜角,=0,o,，直线与,x,轴平行或重合,.,22,2024/11/20,例,1,如图，已知 ，求直线,AB,，,BC,，,CA,的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角,解：直线,AB,的斜率,直线,BC,的斜率,直线,CA,的斜率,由 及 知，直线,AB,与,CA,的倾斜角均为锐角；由 知，直线,BC,的倾斜角为钝角,典型例题,23,2024/11/20,例,2,在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为,1,，,-1,，,2,及,-3,的直线 及 ,即,解：取 上某一点为 的坐标是 ，根据斜率公式有,:,设 ，则 ，于是 的坐标是 过原点及 的直线即为 ,x,y,是过原点及 的直线，是过原点及,的直线，是过原点及 的直线,典型例题,24,2024/11/20,例,3.,已知三点,A,(,a,2),、,B,(5,1),、,C,(,4,2,a,),在同一直线上，求,a,的值,.,典型例题,25,2024/11/20,解：,如图，直线 的倾斜角,=30,0,，直线,l,2,l,1,，求,l,1,，,l,2,的斜率,.,练习：,26,2024/11/20,两点间斜率公式,知识小结,倾斜角,斜率,作业：课本,p89 A,组,1,2,3,4,5,