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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,2020-06-15,#,习题课,圆与圆的方程及综合应用,1,.,圆的标准方程与一般方程的,比较,2,.,直线与圆、圆与圆位置关系的解决方法,(1),几何法,侧重点在于利用圆的几何性质,并利用半径与距离的量来刻画位置关系,解法简捷、直观,;,(2),代数法,侧重点在于利用联立方程的思路,通过方程解的组数来刻画位置关系,解法比较抽象,但严谨,.,3,.,重要结论,(1),过圆,x,2,+y,2,=r,2,上一点,P,(,x,0,y,0,),的切线方程为,x,0,x+y,0,y=r,2,.,(2),过圆,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,上一点,P,(,x,0,y,0,),的切线方程为,(,x,0,-a,)(,x-a,),+,(,y,0,-b,)(,y-b,),=r,2,.,(3),过圆,x,2,+y,2,=r,2,外一点,P,(,a,b,),作圆的切线,PA,PB,其中,A,B,为切点,则直线,AB,的方程为,ax+by=r,2,.,(4),A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),以,AB,为直径的圆的方程为,(,x-x,1,)(,x-x,2,),+,(,y-y,1,)(,y-y,2,),=,0,.,(5),过两圆交点的直线方程,.,设圆,C,1,:,x,2,+y,2,+D,1,x+E,1,y+F,1,=,0,圆,C,2,:,x,2,+y,2,+D,2,x+E,2,y+F,2,=,0,由,-,得,(,D,1,-D,2,),x+,(,E,1,-E,2,),y+F,1,-F,2,=,0,.,若圆,C,1,与圆,C,2,相交,则,为过两圆交点的弦所在直线的方程,.,(6),过直线与圆的交点的圆系方程,.,若直线,l,:,Ax+By+C=,0,与圆,C,:,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=,0,相交,则方程,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F+,(,Ax+By+C,),=,0,表示过直线,l,与圆,C,的两个交点的圆系方程,.,(7),过圆与圆的交点的圆系方程,.,若圆,C,1,:,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=,0,与圆,C,2,:,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=,0,相交,则过这两个圆交点的圆系方程可设为,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F+,(,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F,),=,0(,-,1),.,(8),圆的常用几何性质,.,圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上,.,圆上异于直径端点的点与直径的两端点连线垂直,.,过切点且垂直于该切线的直线必过圆心,.,做一做,1,已知,x,2,+y,2,-,2,x+y+k=,0,是圆的方程,则实数,k,的取值范围是,(,),解析,:,令,D,2,+E,2,-,4,F=,(,-,2),2,+,1,2,-,4,k,0,得,k,答案,:,B,解析,:,本题可转化为直线,x+y+,1,=,0,与圆,(,x-,1),2,+,(,y-,1),2,=R,2,(,R,0),相切,求,R.,答案,:,B,解析,:,如,图,由题意知圆的圆心坐标为,(0,0),半径,r=,2,.,答案,:,B,做一做,4,已知,直线,x-my+,2,=,0,与圆,x,2,+,(,y-,1),2,=,1,有两个不同的交点,则,(,),答案,:,B,做一做,5,若圆,(,x+,2),2,+y,2,=,9,与圆,(,x-,1),2,+,(,y+a,),2,=,64,内切,则实数,a=,.,答案,:,4,做一做,6,求过直线,2,x+y+,4,=,0,和圆,x,2,+y,2,+,2,x-,4,y+,1,=,0,的交点,且满足下列条件的圆的方程,.,(1),过原点,;,(2),面积最小,.,探究一,探究二,探究,三,探究,四,探究五,一题多解,探究,一,求圆的方程,【例,1,】,已知圆,C,关于,y,轴对称,经过点,A,(1,0),且被,x,轴分成两段弧长之比为,1,2,求圆,C,的方程,.,分析,:,先设出圆的标准方程,然后利用点在圆上及弧长之比列出方程组求解即可,.,探究一,探究二,探究,三,探究,四,探究五,一题多解,探究一,探究二,探究,三,探究,四,探究五,一题多解,反思感悟,求圆的方程的两种方法,(1),直接法,:,利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合直接求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程,.,(2),待定系数法,:,先设出圆的方程,再由条件构建系数满足的方程,(,组,),求得各系数,进而求出圆的方程,.,探究一,探究二,探究,三,探究,四,探究五,一题多解,变式训练,1,已知圆,C,与,y,轴相切,圆心,C,在直线,l,1,:,x-,3,y=,0,上,且圆,C,在直线,l,2,:,x-y=,0,上截得的弦长为,求圆,C,的方程,.,解,:,因为圆心,C,在直线,l,1,:,x-,3,y=,0,上,所以可设圆心坐标为,(3,t,t,),.,又圆,C,与,y,轴相切,所以圆的半径为,r=|,3,t|.,再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得,所以圆心坐标为,(3,1),或,(,-,3,-,1),半径为,3,.,故所求圆的方程为,(,x-,3),2,+,(,y-,1),2,=,9,或,(,x+,3),2,+,(,y+,1),2,=,9,.,探究一,探究二,探究,三,探究,四,探究五,一题多解,探究,二,直线与圆、圆与圆位置关系的,应用,【例,2,】,(1),设直线,kx-y+,1,=,0,被圆,O,:,x,2,+y,2,=,4,所截弦的中点的轨迹为,C,则曲线,C,与直线,x+y-,1,=,0,的位置关系为,(,),A.,相交,B.,相切,C.,相离,D.,不确定,(2),已知圆,C,1,:,x,2,+y,2,=m,与圆,C,2,:,x,2,+y,2,+,6,x-,8,y-,11,=,0,相切,则实数,m,的值为,.,探究一,探究二,探究,三,探究,四,探究五,一题多解,探究一,探究二,探究,三,探究,四,探究五,一题多解,(2),由于圆,C,1,的圆心在圆,C,2,内部,所以两圆只能内切,.,圆,C,2,的方程可化为,(,x+,3),2,+,(,y-,4),2,=,36,由于两圆内切,所以,有,=,5,解得,m=,1,或,m=,121,.,答案,:,(1)A,(2)1,或,121,反思感悟,解决直线与圆、圆与圆位置关系问题有几何法和代数法,但一般使用几何法解决,解决的关键是找出圆心、半径及距离,含参类问题也要注意最后结果的检验,.,探究一,探究二,探究,三,探究,四,探究五,一题多解,变式训练,2,(1),若直线,x-y+,1,=,0,与圆,(,x-a,),2,+y,2,=,2,有公共点,则实数,a,的取值范围是,(,),A.,-,3,-,1B.,-,1,3C.,-,3,1D.(,-,-,3,1,+,),(2),圆,x,2,+y,2,+,4,x-,4,y+,7,=,0,与圆,x,2,+y,2,-,4,x+,10,y+,13,=,0,的公切线的条数是,(,),A.1B.2C.3D.4,答案,:,(1)C,(,2)D,探究一,探究二,探究三,探究,四,探究五,一题多解,探究,三,与圆有关的最值,问题,【例,3,】,若实数,x,y,满足,(,x-,2),2,+y,2,=,3,则,的最大,值,为,.,探究一,探究二,探究三,探究,四,探究五,一题多解,反思感悟与圆有关的最值问题,处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思考求解,.,与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型,:,(2),形如,t=ax+by,的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,.,(3),形如,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,的最值问题,可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题,.,探究一,探究二,探究三,探究,四,探究五,一题多解,变式训练,3,若直线,l,:,ax+by+,1,=,0,始终平分圆,M,:,x,2,+y,2,+,4,x+,2,y+,1,=,0,的周长,则,(,a-,2),2,+,(,b-,2),2,的最小值为,(,),答案,:,B,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,与圆有关的弦及弦长问题,【例,4,】,(1),已知圆,C,:,x,2,+y,2,-,8,y+,12,=,0,直线,l,:,ax+y+,2,a=,0,.,当,a,为何值时,直线,l,与圆,C,相切,?,当直线,l,与圆交于,A,B,两点,且,|AB|=,2,时,求直线,l,的方程,.,(2),已知圆,x,2,+y,2,+x-,6,y+m=,0,与直线,x+,2,y-,3,=,0,交于,P,Q,两点,O,为坐标原点,那么是否存在实数,m,使得,OP,OQ,?,若存在,求出,m,的值,;,若不存在,请说明理由,.,分析,:,(1),利用,d=r,列式,;,利用弦长公式列方程,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,解,:,(,1),圆的方程化为标准方程为,x,2,+,(,y-,4),2,=,4,即圆心为,C,(0,4),半径,r=,2,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,(2),由直线方程得,3,=x+,2,y,将其代入圆的方程,x,2,+y,2,+x-,6,y+m=,0,经检验,符合题意,.,故存在,m=,3,使得,OP,OQ.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,2,.,关于弦的逆向问题,一定要将垂直、夹角或距离等条件用代数式表达出来,进而求得参数,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练,4,(1),已知直线,x-y+a=,0,与圆心为,C,的圆,x,2,+y,2,+,2,x-,4,y-,4,=,0,相交于,A,B,两点,且,AC,BC,则实数,a,的值为,.,(2),已知圆,C,1,:,x,2,+y,2,+,2,x-,6,y+,1,=,0,圆,C,2,:,x,2,+y,2,-,4,x+,2,y-,11,=,0,.,求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长,.,(1),解析,:,由题意,得圆心,C,的坐标为,(,-,1,2),半径,r=,3,.,因为,AC,BC,所以圆心,C,到直线,x-y+a=,0,的距离,答案,:,0,或,6,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,两式相减并化简得,3,x-,4,y+,6,=,0,.,则,3,x-,4,y+,6,=,0,即为两圆公共弦所在直线的方程,.,由题易知圆,C,1,的圆心,C,1,(,-,1,3),半径,r=,3,.,探究一,探究二,探究三,探究,四,探究五,一题多解,探究,五,与圆有关的轨迹问题,【例,5,】,定长为,4,的线段,AB,的两个端点,A,B,分别在,x,轴和,y,轴上滑动,求线段,AB,的中点,M,的轨迹方程,.,分析,:,先设出动点,M,及,A,B,的坐标,再找出三点坐标之间的关系,最后利用,|AB|=,4,化简即得,.,解,:,设,线段,AB,的中点,M,为,(,x,y,),线段,AB,的端点,A,(,x,0,0),B,(0,y,0,),得,(2,x,),2,+,(2,y,),2,=,16,化简得,x,2,+y,2,=,4,所以线段,AB,的中点,M,的轨迹方程是,x,2,+y,2,=,4,.,探究一,探究二,探究三,探究,四,探究五,一题多解,反思感悟,求轨迹的方法很多,但目前应掌握好直接法与相关点法,:,直接法的关键是设出动点,直接将条件代数化化简即得,;,相关点法不仅要设出所求动点坐标,还要设出与之联动的相关点的坐标,并且要找出它们坐标之间的关系,再代数化化简即得,.,探究一,探究二,探究三,探究,四,探究五,一题多解,变式训练,5,已知点,O,(0,0),和点,B,(,m,0)(,m,0),动点,P,到点,O,和点,B,的距离之比为,2,1,.,求,P,点的轨迹,.,探究一,探究二,探究三,探究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