数学归纳法证明不等式课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四讲 数学归纳法证明不等式,在数学研究中，人们会遇到这样的情 况，对于任意,正整数,n,或不小于某个数,n,0,的任意,正整数,n,，,都有某种关系成立。,对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法,-,数学归纳法,与正整数有关的命题,例如：,1,4+2,7+310+n(3n+1)=n(n+1),2,(,nN,+,),n,2,1+nx (x-1,nN,+,).,n=5,a,5,=25,问题情境一,问题,1,:,大球中有,5,个小球，如何验证它们都是绿色的？,完全归纳,法,不完全归纳法,模 拟 演 示,问题,3,:,已知：,1,3=2,1,3,5=,3,1,3,5,7=4,1,+,3,5,7,9=,5,可猜想：,1+3,5,（,1,）,n,（,2n,1,）,问题,2,：若,a,n,=(n,2,-5n+5),2,，,则,a,n,=1,。对吗？,1,1,1,1,当,n=1,a,1,=;,n=2,a,2,=;,n=3,a,3,=;,n=4,a,4,=;,（,1,）,n,n,问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例,猜想：,都是质数,法国的数学家费马（,Pierre de Fermat,）,(1601,年,1665,年,),。,十七世纪最卓越的数学家之一，,他在数学许多领域中都有极大的贡献，,因为他的本行是专业的律师，,为了表彰他的数学造诣，,世人冠以“业余王子”之美称，,归纳法：由一系列有限的,特殊事例,得出,一般结论,的推理方法。,（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）,（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）,（,1,）完全归纳法：考察,全体,对象，得到一般结论的推理方法。,（,2,）不完全归纳法,考察,部分,对象,得到一般结论的推理方法。,归纳法分为,完全归纳法,和,不完全归纳法。,归纳法,如何解决不完全归纳法,存在的问题呢？,必须寻找一种用,有限,个步骤，就,能处理完,无限,多个对象的方法。,问题情境三,多米诺骨牌,操作实验,数学归纳法,我们常采用,数学归纳法,来证明：由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性,.,（,1,）证明当,n,取第一个值,n,0,(,例如,n,0,=1),时命题成立,（,2,）假设当,n=,k(k,N,k n,0,),时命题成立,证明当,n=k+1,时命题也成立。,这种证明方法叫做,数学归纳法,k=2,k+1=2+1=3,k=3,k+1=3+1=4,k=10,k+1=10+1=11,下面我们来证明前面问题,3,中猜想的正确性,证明,:(1),当,n=1,时,左边,=,1,右边,=,1,左边,=,右边,当,n=1,时，式,（,*,）,成立,(2),假设当,n=k,时，式,（,*,）,成立，,即,1+3,5,（,1,）,k,（,2k,1,）（,1,）,k,k,在这个假设下再考虑当,n=k+1,时，式,（,*,）,的左右两边,是否成立,.,例,1,、用数学归纳法证明：当,nN,+,时，,1,+,3,5,（,1,）,n,（,2n,1,）（,1,）,n,n,（,*,）,当,n=k+1,时,等式左边,1+3,5,（,1,）,k,（,2k,1,）,（,1,）,k,1,2(k+1),1,（,1,）,k,1,2(k+1),1,（,1,）,k,1,(k+1),右边,所以当,n=k+1,时等式,（,*,）,成立。,由（,1,）（,2,）可知，,1+3,5,（,1,）,n,（,2n,1,）（,1,）,n,n,利用,假设,凑结论,从,n=k,到,n=k+1,有什么变化,（,1,）,k,k,（,1,）,k,1,k,2(k+1),1,下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：,（,1,）验证：,n=n,0,（,n,0,N,+,）,时命题成立。,（,2,）证明：假设,n=k,（,kn,0,）时命题成立，,则,n=k+1,时命题也成立。,对所有的,n,（,n,0,N,+,，,nn,0,）命题成立,奠基,假设与递推,数学归纳法,是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。,主要有两个步骤、一个结论,:,第一步：验证当,n,取第一个值,n,0,（,如,n,0,=1,或,2,等）时结论正确,第二步：,假设,n=k(,kN,，,且,k n,0,),时结论正确，,证明,n=k+1,时结论也正确,结论：,由（,1,）、（,2,）得出结论正确,找准起点,奠基要稳,用上假设,递推才真,写明,结论,才算完整,数学归纳法主要步骤,:,例,2,用数学归纳法证明,144,1,1,）,此时,n,0,=,_,左,_,右,=,_,2,）假设,n=k,时命题成立，即,当,n=k,时，等式左边共有,_,项，,第,(k,1),项是,_,。,k,(K1)3(k1)1,1(1,1),2,=4,1,4+2,7+310+n(3n+1)=n(n+1),2,1,4+2,7+310+k(3k+1)=k(k+1),2,3,）当,n=k+1,时，命题的形式是,4,）此时，左边增加的项是,5),从左到右如何变形？,1,4+2,7+310+k(3k+1),+(k+1)3(k+1)+1,=(k+1)(k+1)+1,2,(k+1)3(k+1)+1,证明：,（,1,）当,n=1,时，左边,14,4,，右边,12,2,4,，等式成立。,（,2,）假设,n=k,时 命题成立，即,1,4+2,7+310+k(3k+1)=k(k+1),2,这就是说，当,n=k+1,时等式也成立。,根据（,1,）和（,2,），可知等式对任何,nN,都成立,当,n=k+1,时,左边,=,1,4+2,7+310+k(3k+1),+(k+1)(3(k+1)+1),=k(k+1),2,+(k+1)(3(k+1)+1),=(k+1)k(k+1)+3(k+1)+1,=(k+1)k,2,+4k+4=(k+1)(k+1)+1,2,右边,练习巩固,1,.,用数学归纳法证明：,在验证,n=1,成立时，左边计算所得的结果是,2,2.,某个命题与正整数,n,有关，如果当 时命题成立，那么可推得当,n=k+1,时命题也成立,.,现已知当,n=5,时该命题不成立，那么可推得（）,A,当,n=6,时该命题不成立,B,当,n=6,时该命题成立,C,当,n=4,时该命题不成立,D,当,n=4,时该命题成立,C,3.,如下用数学归纳法证明对吗？,证明：,当,n=1,时，左边,右边,等式成立。,假设,n=k,时等式成立，有,那么，当,n=k+1,时，有,即,n=k+1,时，命题成立。,根据,可知，对,nN,，等式成立,。,注意,:,用上假设,递推才真,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明,既然不对，如何改正？,三注意：,1,、有时,n,0,不一定等于,1,2,、项数不一定只增加一项。,3,、一定要用上假设,分析,4,.,用数学归纳法证明,12,23,34,n(n,1),练习巩固,从,n=k,到,n=k+1,有什么变化,利用,假设,凑结论,证明,:,2),假设,n=k,时命题成立,即,12,23,34,k(k+1),1),当,n=1,时，左边,=12=2,右边,=2.,命题成立,n=k+1,时命题正确。由,(1),和,(2),知，当 ，命题正确,。,明确初始值,n,0,，验证真假。（必不可少）,“假设,n=k,时命题正确”，写出命题形式。,证明“,n=k+1,时”命题成立。,分析“,n=k+1,时”命题是什么，并找出与“,n=k”,时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。,注意用上假设，,要作结论,用数学归纳法证明恒等式注意事项：,数学归纳法,是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。,主要有两个步骤、一个结论,:,（,1,）证明当,n,取第一个值,n,0,（,如,n,0,=1,或,2,等）时结论正确,（,2,）假设,n=k(,kN,，,且,k n,0,),时结论正确，,证明,n=k+1,时结论也正确,由（,1,）、（,2,）得出结论正确,归纳小结,（,1,）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于,与正整数有关,的问题。,（,2,）,两个步骤，一个结论缺一不可,，否则结论不能成立。,（,3,）在证明递推步骤时，必须,使用归纳假设,。,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉,归纳法,完全归纳法,不完全归纳法,数学归纳法,穷举法,可能错误,如何避免？,课堂小结,数学归纳法是一种完全归纳法,，,它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用,“有限,”,的手段，来解决,“无限,”,的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,。,数学归纳法的核心,思想,课堂小结,（,1,）思考题：,问题,1,中,大球中有很多个小球，如何证明它们都是绿色的？,模 拟 演 示,作业,（,2,）课本作业,P,50,.,习题,4.1,1,，,2,（,3,）补充作业,:,用数学归纳法证明：,如果,a,n,是一个等差数列，那么,a,n,=a,1,+(n-1)d,对于一切,nN,*,都成立。,（,4,）预习课本,P,49,例,1,和例,2,哥德巴赫猜想,德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：,任何大于,5,的整数,都可以表示为三个质数的和,.,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明,.,1742,年,6,月,6,日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现,:,问题的关键在于证明任意大于,2,的偶数能表示为两个质数的和,.,于是,欧拉对大于,2,的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。,6,月,30,日，他复信哥德巴赫，信中指出：,“任何大于,2,的偶数都是两个质数的和，,虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”,这就是著名的哥德巴赫猜想,.,谢谢！,再见！,谢谢！,再见！,谢谢！,再见！,谢谢！,再见！,