第二型曲线积分课件

返回,后页,前页,2,第二型曲线积分,第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分,这是由于第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.,三、两类曲线积分的联系,一、第二型曲线积分的定义,二、第二型曲线积分的计算,返回,2 第二型曲线积分 第二型曲线积分与第一型曲线,一 第二型曲线积分的定义,在物理中还遇到过另一,种类型的曲线积分问题.,例如一质点受力,的作用沿平面曲线,从,点,A,移动到点,B,求力,所作的功,见图,20-2.,一 第二型曲线积分的定义在物理中还遇到过另一种类型的曲线积,为此在曲线,内插入,个分点,一起把有向曲线,分成,n,个,有向小曲线段,若记小曲线,设力,在,轴方向的投影分别为,那么,的弧长为,则分割 的细度为,段,为此在曲线 内插入 个分点 一起把有向曲线 分成 n,又设小曲线段,在,轴上的投影分别为,分别为点,的坐标.记,于是力,在小曲线段,上所作的功,其中,为小曲线段,上任一点,.,因而力,沿曲线,所作的功近似地等于,其中,又设小曲线段 在 轴上的投影分别为 分别为点 的坐标,当细度,时,上式右边和式的极限就应该是,所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论,的第二型曲线积分.,定义,1,设函数,定义在平面有向可,求长度曲线,上,.,对,的任一分割,它把,分,成,n,个小曲线段,当细度 时,上式右边和式的极限就应该是 所求的功.,其中,记个小曲线段,的弧长,为,分割 的细度,又设,的分点,在每个小曲线段,上任取一点,若极限,存在且与分割,T,与点,的取法无关,则称此极,限,为函数,沿有向曲线,L,上的,第二型,的坐标为 并记,其中 记个小曲线段 的弧长 为 分割,曲线积分,记为,或,上述积分(1)也可写作,或,曲线积分,记为 或上述积分(1)也可写作或,为书写简洁起见,(1)式常简写成,或,式可写成向量形式,若,L,为封闭的有向曲线,则记为,若记,则(1),或,于是,力,沿有向曲线,为书写简洁起见,(1)式常简写成 或 式可写成向量形式若L,对质点所作的功为,若,L,为空间有向可求长曲线,为定义在,L,上的函数,则可按上述办法类,似地定义沿空间有向曲线,L,上的第二型曲线积分,并记为,或简写成,对质点所作的功为若L为空间有向可求长曲线,为定义在L上的函,当把,看作三维向量时,(4)式也可表示成(3)式的向量形式.,第二型曲线积分与曲线,L,的方向有关.对同一曲线,当方向由,A,到,B,改为由,B,到,A,时,每一小曲线段的,方向,改变,从而所得的,也随之改变符号,故,当把看作三维向量时,(4)式也可表示成(3)式的向量形式.,有,而第一型曲线积分的被积表达式只是函数,与,弧长的乘积,它与曲线,L,的方向无关.这是两种类型,曲线积分的一个重要区别.,类似与第一型曲线积分,第二型曲线积分也有如下,一些主要性质:,1,有 而第一型曲线积分的被积表达式只是函数 与 弧长的乘积,也存在,且,2.,若有向曲线,由有向曲线,首尾衔接而,成,都存在,则,也存在,且,也存在,且 2.若有向曲线 由有向,二第二型曲线积分的计算,第二型曲线积分也可化为定积分来计算.,设平面曲线,其中,上具有一阶连续导函数,且,点,的坐标分别为,又设,上的连续函数,则沿,L,二第二型曲线积分的计算第二型曲线积分也可化为定积分来计算.,的第二型曲线积分,读者可仿照,1,中定理20.1的方法分别证明,由此便可得公式(6).,对于沿封闭曲线,L,的第二型曲线积分(2)的计算,可,的第二型曲线积分读者可仿照1中定理20.1的方法分别证明由,在,L,上任意选取一点作为起点,沿,L,所指定的方向前,进,最后回到这一点.,例1,计算,其中,L,分别沿图,20-3中的路线:,(i)直线段,(ii),(iii),(,三角形周界,),.,在 L 上任意选取一点作为起点,沿L所指定的方向前 进,解,(i)直线,的参数方程为,故由公式(6)可得,(ii),曲线,为抛物线,解(i)直线 的参数方程为故由公式(6)可得(ii),(iii)这里,L,是一条封闭曲线,故可从,A,开始,应用上段,加即可得到所求之曲线积分.,由于沿直线,的线积分为,所以,的性质2,分别求沿 上的线积分然后相,(iii)这里L是一条封闭曲线,故可从 A开始,应用上段,沿直线,的线积分为,所以,沿直线 的线积分可由(i)及公式(5)得到:,沿直线 的线积分为 所以 沿直线 的线积,例2,计算,这里,L,为:,(i),沿抛物线,的一段,(,图,20-4);,(ii),沿直线,(iii)沿封闭曲线,解,(i),例2 计算 这里 L 为:(i)沿抛物线 的一段(图,(ii),(iii),在,OA,一段上,一段上,一段上与,(ii),一样是,的一段.所以,(ii)(iii)在OA一段上,一段上,一段上与(ii,(见,(ii),),沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与,(6)式相仿.设空间有向光滑曲线,L,的参量方程为,因此,(见(ii)沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式,起点为,终点为,则,这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.,L,是螺旋线,:,例3,计算第二型曲线积分,起点为 终点为则 这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一,上的一段,(,参见图 205,),.,解,由公式(7),上的一段(参见图 205).解 由公式,例,4,求在力,作用下,(i),质点由,沿螺旋线,所作的功,(,图,20-5),其中,(ii)质点由,A,沿直线,所作的功.,解,如本节开头所述,在空间曲线,L,上力,F,所作的功,为,(i)由于,例4 求在力作用下,(i)质点由 沿螺旋线所作的功(图20,(ii),的参量方程,由于,所以,例,5,设,L,为球面,和平面,的交线,若面对,x,轴正向看去,L,是沿逆时针方向的,求,(ii)的参量方程由于所以例5 设L为球面和平面的交线,(i),(ii),(i),由对称性，,解,L,的参数方程为,(i)(ii)(i)由对称性，解 L的参数方程为,因此，,(ii),由对称性，,*,例,6,设,G,是,R,2,中的有界闭域，,是,上的连续,可微函数,是在,G,上的连续函数.,因此，(ii)由对称性，*例6 设G是 R2 中的有界闭域，,则对任意,存在,对于任意分割,只要,必有,其中,为端点,的折线.,证,由,的有界性,存在,使得,则对任意,存在 对于任意分割只要 必有 其中 为端点的折线,令,由,P,Q,在,G,的一致连续性,存在,使得,就有,由,在,上的一致连续性,存在,使得,令 由P,Q在 G 的一致连续性,存在 使得 就有由在,就有,.,任意分割,满足,令,设,为连接,与,的线段,其斜率为,设,的方程为,则,就有.任意分割,满足令 设 为连接与 的线段,其斜率为设的,于是,设,在,到,的那段曲线为,则,于是 设在 到的那段曲线为 则,因此,因此,注,例6 告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来,逼近.,注 例6 告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来逼近.,*三.两类曲线积分的联系,在规定了曲线方向之后,可以建立它们之间的联系.,的有向光滑曲线,它以弧长,s,为参数,虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的,物理原型,且有着不同的特性,但在一定条件下,如,于是,其中,l,为曲线,L,的全长,且点,的坐标分别为,*三.两类曲线积分的联系在规定了曲线方向之后,可以建立它,曲线,L,上每一点的切线方,向指向弧长增加的一方,.,现以,分别表示,切线方向,轴正向的夹角,则在曲线上的,每一点的切线方向余弦是,上的连续函数,则由,(6),式得,曲线L上每一点的切线方 向指向弧长增加的一方.现以分别表,最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的,公式.,注,当(9)式左边第二型曲线积分中,L,改变方向时,积,分值改变符号,相应在(9)式右边第一型曲线积分中,曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧,长减少的方向,).,这时夹角,分别与原来,最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式.注 当(,的夹角相差一个弧度,从而,都,要变号.因此,一旦方向确定了,公式(9)总是成立的.,的夹角相差一个弧度 从而 都 要变号.因此,一旦方向确,复习思考题,1.,设,在光滑曲线,L,上连续,L,满足,若,满足条件,:,是否有,又若,满足,是否有,复习思考题 1.设在光滑曲线L上连续,L满足 若 满足,其中,2.,第二型曲面是否也有轮换对称性？,设,在光滑曲线,L,上连续,L,满足,若,满足条件,:,是否亦有,3,.,设,在空间光滑曲线,L,上连续,L,满足,其中2.第二型曲面是否也有轮换对称性？设 在光滑曲线 L,若,满足条件,:,是否亦有,若 满足条件:是否亦有,