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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,知识回顾,学过的函数：,一次函数,f,（,x,）,=,ax,+,b,+,c,二次函数,f,（,x,）,=,ax,2,+,bx,+,c,f,（,1,）,=,a,+,b,+,c,f,（,-,1,）,=,a,-,b,+,c,f,（,2,）,=4,a,+2,b,+,c,方程组：,知识回顾学过的函数：f（1）=a+b+cf（-,1,导入新课,今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？,你能算出来吗？,导入新课 今有物不知数，三三数之剩二，五五数之,2,今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干 只鸡兔同在一个笼子里，从 上面数，有,35,个头,；,从下面 数,，,有,94,只脚,.,求笼中各有几只鸡和兔,.,你知道有多少只鸡吗？,今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问,3,你能够解决以上的问题，求出数值吗？要解决以上的问题穷举法显然是不可能的，这就涉及到我们今天要学习的知识，拉格朗日插值法、孙子定理,.,你能够解决以上的问题，求出数值吗？要解决以上的问题穷,4,第五节 拉格朗日插值和孙子定理,第二讲 同余与同余方程,第五节 拉格朗日插值和孙子定理第二讲 同余与同余方程,5,教学目标,知识与能力,1.,理解一次同余式组的概念,.2.,理解拉格朗日插值公式的建立过程及推导孙子定理的过程,.,3.,掌握用孙子定理法求一次同余式组的解,.,教学目标知识与能力1.理解一次同余式组的概念.,6,过程与方法,情感态度与价值观,1.,通过算法案例的学习，了解中国古代数学家对世界数学发展的伟大贡献，增强民自豪感和自信心,.2.,在学习的同时，学会做有爱国心，品格高尚的人，树立远大理想和目标,.,1.,先阅读案例，探究解决问题的算法,.2.,研读算法，体会算法思想，能解决具体问题,.,过程与方法情感态度与价值观1.通过算法案例的学习，了解中国古,7,教学重难点,重点,1.,理解拉格朗日插值公式的建立过程,.2.,孙子定理的推导过程,.3.,用孙子定理解一次同余方程,.,难点,建立拉格朗日插值公式和推导孙子定理,.,教学重难点重点1.理解拉格朗日插值公式的建立过程.2,8,孙子算经翻译：,一个数除以,3,余,2,，除以,5,余,3,，除以,7,余,2,，问这个数是几,?,m,=3,x,+2,x,2,（,mod3,）,相当于解方程组,m,=5,y,+3,即,x,3,（,mod5,）,m,=7,z,+2,x,2,（,mod3,）,同余方程组,为了能更方便的求解方程组我们将学习,拉格朗日插值法,.,孙子算经翻译：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，问这,9,我们知道，在二次函数,f,（,x,）,=,ax,2,+,bx,+,c,中只要我们知道其上的三个值如（,x,1,，,f,（,x,1,），（,x,2,，,f,（,x,2,），（,x,2,，,f,（,x,2,），就能得到要求的多项事,.,一种更一般的,拉格朗日插值法,.,1,）求多项式,p,（,x,）,使,p,（,x,1,）,=1,p,(,x,2,)=0,p,(,x,3,)=0 2,）求多项式,q,（,x,）,使,q,（,x,1,）,=0,q,(,x,2,)=1,q,(,x,3,)=0 3,）求多项式,r,（,x,）,使,r,（,x,1,）,=0,r,(,x,2,)=0,r,(,x,3,)=1,若选取,p,（,x,）,=,c,（,x,-,x,2,）（,x,-,x,3,），其中,c,为常数,.,我们知道，在二次函数f（x）=ax2+bx+,10,显然,p,(,x,2,),=,0,p,(,x,3,),=,0,再代入,p,（,x,1,）,=,1,可求得,c,为,(,x,1,-,x,2,),（,x,1,x,3,）的倒数,.,求得,同理得,设,a，b，c,两两不同那么满足,f,(,a,),=,e,，,f,(,b,),=,f,，,f,（,c,）=,g,的一个多项式可用,f,(,x,),=,e,p,(,x,),+,f,q,(,x,)+,g,r,(,x,),(,),其中 （）,显然p(x2)=0,p(x3)=0 再代入p（x1）=1,11,上面的公式（,）和（,）叫做拉格朗日公式,.,用类似方法解决,孙子算经的物不知其数问题,.,1,）,求整数,p,使,p,1,（,mod3,）,p,0,（,mod5,）,p,0,（,mod7,）,.,求整数,q,使,q,0,（,mod3,）,q,1,（,mod5,）,q,0,（,mod7,）,.,求整数,r,使,r,0,（,mod3,）,r,0,（,mod5,）,r,1,（,mod7,）,.,上面的公式（）和（）叫做拉格朗日公式.用类似方法解决孙子,12,2,）,作整数,k,=2,p,+3,q,+2,r,，,这个,k,使同余式都成了,.,此时,x,k,（,mod357,）现在的焦点就是如何求,p,、,q,、,r.,由于,p,0,（,mod5,），,p,1,（,mod7,）,故,5,p,，,7,p,，,于是,p,=57,c,，,c,为整数,再由,p,1,（,mod3,）,即,57,c,1,（,mod3,）,若,c=2,，,则,p,=70.,同理求得,q,=21,，,r,=15.,所以,k,=233,，,x,23323,（,mod105,）,.,2）作整数k=2p+3q+2r，这个k使同余式都成了.,13,此求同余方程组的方法即,孙子定理,.,孙子定理,设,a,，,b,，,c,为两两,互素,的正整数，,e,，,f,，,g,为任意整数，则同余方程组,x,e,（,mod,a,），,x,f,（,mod,b,），仅有一解：,x,g,（,mod,c,）,x,ebcc,1,+,facc,2,+,gabc,3,（,mod,abc,），其中,c,1,，,c,2,，,c,3,分别满足同余式：,bcc,1,1,（,mod,a,）,acc,2,1,（,mod,b,）,abc,3,1,（,mod,a,）的整数,.,此求同余方程组的方法即孙子定理.孙子定理 设a，b，c,14,课堂小结,一、一次同余式组：,x,e,（,mod,a,）,x,f,（,mod,b,）,x,g,（,mod,c,）,二、拉格朗日插值公式：,f,(,x,),=,e,p,(,x,),+,f,q,(,x,)+,g,r,(,x,),课堂小结一、一次同余式组：xe（moda）二、拉格朗日插值,15,三、孙子定理：,设,a,，,b,，,c,为两两,互素,的正整数，,e,，,f,，,g,为任意整数，则同余方程组,x,e,（,mod,a,）,x,f,（,mod,b,），仅有一解：,x,g,（,mod,c,）,x,ebcc,1,+,facc,2,+,gabc,3,（,mod,abc,），其中,c,1,，,c,2,，,c,3,分别满足同余式：,bcc,1,1,（,mod,a,）,acc,2,1,（,mod,b,）,abc,3,1,（,mod,a,）的整数,.,三、孙子定理：设a，b，c为两两互素的正整数，e，f，g为任,16,针对性练习,1,、,已知函数,f,（,x,）,=,x,2,+2,x,+,a,ln,x,当,t1,时,不等式,f,(2,t,1)2,f,(,t,),3,恒成立,求实数,a,的取值范围,.,证明,:,当,t,1,时，,f,(2,t,1)2,f,(,t,),3,恒成立,.,即,（,2,t,-1,）,2,+,2,（,2,t,-1,）,+,a,ln,（,2,t,-1,）,2,t,2,+4,t,+2,a,ln,t,-3,当,t,1,恒成立,.,即,a,ln,t,2,-ln,（,2,t,-1,）,2,（,t,-1,）,2,针对性练习1、已知函数f（x）=x2+2x+alnx当t1,17,h,(,x,)=ln,x,由拉格朗日定理知,使得 成立 故 所以 即实数取值范围（,-,2,当,t,=1,时，不等式恒成立,此时,a,R.,当,t1,时，由于,t,2,-,（,2,t,-1,）,=,（,t,-1,）,2,0,，,所以,ln,t,2,ln,（,2,t,-1,）,故,当,t,1,时恒成立,.,h(x)=lnx,由拉格朗日定理知,使得,18,2、,已知函数 ，,f,（,x,）的导数是,f,（,x,），任意两个不等正数,x,1,，,x,2,证：若,a,4，,f,（,x,1,）-,f,（,x,2,）,x,1-,x,2,，,证明：,要证,f,（,x,1,）-,f,（,x,2,）,x,1-,x,2,只要证 由拉格朗日定理，总存在,使 故只要证明 只要证,2、已知函数,19,令 ，则 令 故当,a,4时,f,（,x,1）-,f,（,x,2）,x,1-,x,2,3,、,已知函数,且存在,x,0,(0,),使,f(x,0,)=x,0,.,证明：,令 ，则,20,证明：因为,由拉格朗日中值定理知,:,总存在,使得,由于,又,当,故得证,证明：,21,1,、,求整数,n,，它被,3,，,5,，,7,除的余数分别是,1,，,2,，,3,则该整数最小为（）,.,2,、,解同余方程组,则,x,为,(),.,课堂练习,52,2,15,3,10,5,6,1、求整数n，它被3，5，7除的余数分别是1，2，3,则该整,22,4,、,一个数被,3,除余,1,，被,4,除余,2,，被,5,除余,4,，这个数最小是（）,.,3,、,有一个数，除以,3,余,2,，除以,4,余,1,，问这个数除以,12,余（）,.,A.5 B.7 C.8 D.9,A,A.274 B.40 C.34 D.36,C,4、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是（,23,解析：,若,4,人一组多,1,人，,6,人一组少,3,人,则加,3,人为,4,和,6,的公约数,=12K,，,12K,-,3,能被,5,整除,根据,5,和,2,的倍数特征规律,:124-3,=,45,，所以至少有,45,人,.,5,、,若,4,人一组多,1,人，,5,人一组正好分完，,6,人一组少,3,人，最少有几人？,解析：若4人一组多1人，6人一组少3人,则加3人为4和6的公,24,6,、,每,9,人一排多,6,人，每,7,人一排多,2,人，每,5,人一排多,3,人，问至少有多少人？,解：由于,9,7,5互素,故,同样可用孙子定理.,解1,7,5c,1,=35c,1,1(mod9),得,c,1,8(mod9),解2,9,5c,2,=45c,2,1(mod7),得,c,2,5(mod7),解3,9,7c,3,=63c,3,1(mod5),得,c,3,2(mod5),于是,选取c,1,=2，c,2,=3，c,3,=11,得,x,6,7,5,8+2,9,5,5+3,9,7,2,303(mod305)是同余方程的解.所以至少,303,人.,6、每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问,25,解：由于,3,7,11互素,故,同样可用孙子定理.,解1,7,11c,1,=77c,1,1(mod3),得,c,1,2(mod2),解2,3,11c,2,=33c,2,1(mod7),得,c,2,3(mod7),解3,3,7c,3,=21c,3,1(mod11),得,c,3,10(mod11),于是,选取c,1,=2，c,2,=3，c,3,=11,得,x,2,7,11,2+1,3,11,3+2,3,7,10=727,24(mod231)是同余方程的解.,7,、,3,除余,2,，被,7,除余,1,，被,11,除余,2,，求同余方程的解,.,解：由于3,7,11互素,故同样可用孙子定理.,26,再见,再见,27,
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