高等数学对坐标的曲面积分课件

*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学对坐标的曲面积分,高等数学对坐标的曲面积分,1,观察以下曲面的侧,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,1.,有向曲面,通常光滑曲面都有两侧,.,如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等,.,(,假设曲面是光滑的,),对坐标的曲面积分,一、预备知识,观察以下曲面的侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧1.有向曲面,2,有两侧的曲面,.,规定,(1),双侧曲面,2.,曲面的分类,法向量的方向来区分曲面的两侧,.,对坐标的曲面积分,有两侧的曲面.规定(1)双侧曲面2.曲面的分类法向量的方向,3,(2),单侧曲面,莫比乌斯,(Mobius),带,.,B,、,C,粘在一起形成的环,不通过边界可以,这在,双侧曲面上是不能实现的,.,决定了侧的曲面称为,它是由一张长方形纸条,ABCD,扭转一下,将,A,、,D,粘在一起，,行带.,小毛虫在莫比乌斯带上,爬到任何一点去,.,有向曲面,.,对坐标的曲面积分,Mobius(1790-1868)19,世纪德国数学家,(2)单侧曲面莫比乌斯(Mobius)带.B、C 粘在一起,4,3.,有向,曲面在坐标面上的投影,设,是有向曲面,.,恰好等于,与坐标面,xOy,的二面角,.,假定,的余弦,上各点处的法向量与,z,轴的夹角,有相同的符号.,在有向曲面,取一小块,对坐标的曲面积分,3.有向曲面在坐标面上的投影设是有向曲面.恰好等于,5,类似地,可定义 在,yOz,面及,zOx,面的投影,:,希自己写出,在,xOy,面上的投影,在,xOy,面上的投影区域的面积附以一定的,实际上就是,正负号,.,的二面角,.,对坐标的曲面积分,类似地,可定义 在yOz面及zOx面的投,6,流向曲面一侧的流量,.,流量,实例,(,为平面,A,的,单位,法向量,),(,斜柱体体积,),(1),流速场为,常向量,有向,平面,区域,A,求单位时间流过,A,的流体的质量,(,假定密度为,1).,对坐标的曲面积分,二、概念的引入,流向曲面一侧的流量.流量实例(为平面A的单位法向量,7,(2),设稳定流动的不可压缩流体,给出,函数,流体的密度与速度均不随时间而变化,(,假定密度为,1),的速度场由,当,不是常量,曲面,求在单位,时间内流向,指定侧的,流体的质量,是速度场中的一片有向曲面,对坐标的曲面积分,(2)设稳定流动的不可压缩流体给出,函数,8,分割,则该点流速为 ，,法向量为,对坐标的曲面积分,分割则该点流速为 ，法向量为 对坐标的曲面积,9,常向量,有向平面,求和,取近似,该点处曲面,的,单位,法向量,高,底,对坐标的曲面积分,通过,流向指定侧的流量,k,j,i,n,i,i,i,i,r,r,r,r,g,b,a,cos,cos,cos,+,+,=,),cos(,|,|,i,i,i,n,v,v,r,r,r,常向量,有向平面求和取近似该点处曲面的单位法向量高底对坐标,10,取极限,对坐标的曲面积分,取极限对坐标的曲面积分,11,1.,定义,三、概念与性质,定义,对坐标的曲面积分,1.定义三、概念与性质定义对坐标的曲面积分,12,或称,被积函数,积分曲面,存在,则称此极限为,第二类曲面积分,.,记作,即,如曲面为封闭曲面,:,对坐标的曲面积分,或称被积函数积分曲面存在,则称此极限为第二类曲面积分.记作即,13,类似可定义,2.,存在条件,对坐标的曲面积分存在,.,在有向光滑,连续,对坐标的曲面积分,类似可定义2.存在条件对坐标的曲面积分存在.在有向光滑连续,14,3,.,组合形式,4,.,物理意义,如,:,上述流向,指定侧的流量,为,:,对坐标的曲面积分,3.组合形式4.物理意义如:上述流向指定侧的流量为:对坐,15,5,.,性质,(1),(2),(3),对坐标的曲面积分,当曲面,(4),是母线平行于,z,轴的柱面时,表示,相反的一侧,的曲面积分,性质对坐标,zx,yz,.,也有类似的结果,5.性质(1)(2)(3)对坐标的曲面积分 当曲面(4),16,对坐标的曲面积分,上侧,四、,对坐标的曲面积分的计算法,设积分曲面,是由,的曲面,在,xOy,面,上的投影区域为,函数,具有一阶连续偏导数,被积函数,R,(,x,y,z,),在,上连续,.,对坐标的曲面积分上侧,四、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面,17,取上侧,即,对坐标的曲面积分,xy,xy,i,S,),(,),(,s,D,D,=,取上侧即对坐标的曲面积分xyxyiS)()(sDD=,18,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的,注,侧,.,对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的注侧.对坐标的曲面积分,19,计算,对坐标的曲面积分,时,:,(1),认定对哪两个坐标的积分,将曲面,表为,这两个变量的函数,并确定,的投影域,.,(2),将,的方程代入被积函数,化为投影域上,的二重积分,.,(3),根据,的侧,(,法向量的方向,),确定二重积分,前的正负号,.,对坐标的曲面积分,计算对坐标的曲面积分时:(1)认定对哪两个坐标的积分,20,解,投影域,对坐标的曲面积分,例,计算,其中,是球面,外侧在,的部分,.,解投影域对坐标的曲面积分 例计算其中是球面外侧在的部分.,21,极坐标,对坐标的曲面积分,极坐标对坐标的曲面积分,22,例,其中,是,所围成的正方体的表面的,2,4,5,6,3,先计算,由于平面,都是母线平行于,x,轴的柱面,则在其上对坐标,y,z,的积分为,0.,解,三个坐标面与平面,外侧.,对坐标的曲面积分,1,例其中是所围成的正方体的表面的24563 先计,23,x=a,面在,yOz,面上的投影为正,而,x=,0,面在,yOz,面上的投影为负,.,投影域均为,:,0,ya,0,za,故,由,x,y,z,的对等性知,所求曲面积分为,3,a,4,.,后两个积分值也等于,a,4,.,对坐标的曲面积分,2,4,5,6,3,1,x=a面在yOz面上的投影为正,而x=0面在yOz面上的投影,24,设有向曲面,是由方程,函数,具有一阶连续偏导数,给出,五、两类曲面积分之间的联系,对坐标的曲面积分,在,xOy,面上投影区域为,对坐标的曲面积分为,被积函数,R,(,x,y,z,),在,上连续,.,设有向曲面是由方程函数具有一阶连续偏导数,给出,五、两类曲,25,曲面,的法向量的方向余弦为,对面积的曲面积分为,所以,(,注意取曲面的两侧均成立,),对坐标的曲面积分,曲面的法向量的方向余弦为对面积的曲面积分为所以(注意取曲面,26,两类曲面积分之间的联系,类似可得,不论哪一侧都成立,.,对坐标的曲面积分,其中,是有向曲面,在点,处的法向量的方向余弦,.,两类曲面积分之间的联系类似可得不论哪一侧都成立.对坐标的曲面,27,解,例,下侧,.,对坐标的曲面积分,解 例下侧.对坐标的曲面积分,28,对坐标的曲面积分,由对称性,对坐标的曲面积分由对称性,29,例,其中,解,法一,直接用对坐标的曲面积分计算法,.,且其投影区域分别为,由于,取上侧,在第一卦限部分的,上侧,.,面的投影,都是,正的,对坐标的曲面积分,例其中解法一直接用对坐标的曲面积分计算法.且其投影区域分,30,取上侧,对坐标的曲面积分,-,+,-,-,1,0,1,0,d,),2,2,2,(,d,x,y,x,y,x,x,取上侧对坐标的曲面积分-+-1010d)222(dxy,31,法二,利用两类曲面积分的联系计算,.,取上侧,锐角,.,则法向量,n,与,z,轴正向的夹角为,对坐标的曲面积分,法二利用两类曲面积分的联系计算.取上侧,锐角.则法向量n与,32,对坐标的曲面积分,y,x,z,z,S,y,x,d,d,1,d,2,2,+,+,=,对坐标的曲面积分yxzzSyxdd1d22+=,33,若分片光滑的闭曲面,0,其中,注,补充,x,的偶函数,x,的奇函数,曲面,不封闭也可以,.,取,外侧,(,内侧仍成立,),那末,关于,yOz,平面对称,对坐标的曲面积分,若分片光滑的闭曲面0其中注补充x的偶函数x的奇函数曲面不,34,例,其中,:,解,关于,yOz,面对称,被积函数,关于,x,为偶函数.,下侧,.,关于,zOx,面对称,被积函数,关于,y,为偶函数.,对坐标的曲面积分,例其中:解关于yOz面对称,被积函数关于x为偶函数.下侧,35,小毛虫在莫比乌斯带上,由 x,y,z 的对等性知,它是由一张长方形纸条ABCD,四步:分割、取近似、求和、取极限,如:上述流向指定侧的流量为:,曲面的法向量的方向余弦为,B、C 粘在一起形成的环,五、两类曲面积分之间的联系,该点处曲面的单位法向量,它是由一张长方形纸条ABCD,这在双侧曲面上是不能实现的.,处的法向量的方向余弦.,原式,=,对坐标的曲面积分,小毛虫在莫比乌斯带上,原式=对坐标的曲面积分,36,解,1994,年研究生考题,计算,6,分,对坐标的曲面积分,求,练习,而,),0,(,围成立体表面的外侧,r,解 1994年研究生考题,计算,6分对坐标的曲面积分求练,37,对坐标的曲面积分,求,),0,(,围成立体表面的外侧,r,对坐标的曲面积分求,)0(围成立体表面的外侧r,38,对坐标的曲面积分,或,对坐标的曲面积分或,39,关于曲面侧的性质,对坐标的曲面积分,六、小结,对坐标的曲面积分的计算,对坐标的曲面积分的概念,四步,:,分割、取近似、求和、取极限,思想,:,化为,二重积分计算,;,对坐标的曲面积分的物理意义,注意,:,“,一投,二代,三定号,”,对坐标的曲面积分的性质,两类曲线积分之间的联系,方法,:,关于曲面侧的性质对坐标的曲面积分六、小结 对坐标的曲面积分的,40,思考题,是非题,是以原点为中心的球面,.,由对称性知,对坐标的曲面积分,思考题是非题是以原点为中心的球面.由对称性知对坐标的曲面积分,41,思考题解答,非,因为上半球面,下半球面,故,对坐标的曲面积分,思考题解答非因为上半球面下半球面故对坐标的曲面积分,42,身体健康，学习进步！,身体健康，学习进步！,