第八节　函数的图象及其变换

,第八节函数的图象及其变换,1.掌握基本初等函数的图象,会研究简单函数的性质.,2.掌握图象的平移、对称、伸缩等变换.,3.会用图象数形结合解决最值、方程根的个数或分布.,作函数的图象有两条基本途径:,1.描点法,其基本步骤是:,列表,、,描点,、,连线,.首先确定函数的,定义域,化简,函数解析式,讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性,、值域);其次列表(尤其注意特殊性,如最大值、最小值、与坐标轴的,交点);最后描点,连线.,2.图象变换法,(1)平移变换,左右平移:,y,=,f,(,x,-,a,)的图象,可由,y,=,f,(,x,)的图象向,左,(,a,0),平移,|,a,|,个单位而得到.,上下平移:,y,=,f,(,x,)+,b,的图象,可由,y,=,f,(,x,)的图象向,上,(,b,0)或向,下,(,b,0),平移,|,b,|,个单位而得到.,(2)对称变换,y,=,f,(,-,x,)与,y,=,f,(,x,)的图象关于,y,轴,对称.,y,=,-,f,(,x,)与,y,=,f,(,x,)的图象关于,x,轴,对称.,y,=,-,f,(,-,x,)与,y,=,f,(,x,)的图象关于,原点,对称.,y,=,f,-,1,(,x,)与,y,=,f,(,x,)的图象关于,直线,y,=,x,对称.,y,=|,f,(,x,)|的图象可将,y,=,f,(,x,)的图象在,x,轴,下方,的部分以,x,轴为对称轴翻,折到,x,轴上方,其余部分不变.,y,=,f,(|,x,|)的图象可将,y,=,f,(,x,),x,0的部分作出,再利用,偶函数,的图象关,于,y,轴的对称性,作出,x,0)的图象,可将,y,=,f,(,x,)图象上所有点的,纵,坐标变为原来的,A,倍,横坐标不变而得到.,y,=,f,(,ax,)(,a,0)的图象,可将,y,=,f,(,x,)图象上所有点的,横,坐标变为原来的,倍,纵坐标不变而得到.,3.识图,绘图、识图是学习函数、应用函数的一项重要基本功.识图要首先把,握函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对称特征、周,期性、与坐标轴的交点,另外有无渐近线,正、负值区间等都是识图,的重要方面,要注意函数解析式中含参数时,怎样由图象提供信息来,确定这些参数.,4.用图,函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的,直观性,它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具.要重视数形,结合解题的思想方法.,函数,y,=,f,(,x,)的图象关于原点对称与函数,y,=,f,(,x,)与,y,=,-,f,(,-,x,)的图象关于,原点对称一致吗?,提示:不一致,前者是本身的对称,而后者是两个函数图象间的对称.,思考感悟,提示,考点一,作图,1.为了得到函数,y,=42,x,的图象,可以把函数,y,=2,x,的图象上所有的点,(),解析,由两函数图象交点的个数为2可得实数解的个数为2.,答案:2,解析,3.作出下列函数的图象.,(1),y,=2,x,+1,-,1;,(3),y,=|lg,x,|;,(4),y,=,x,2,-,2|,x,|+1.,解:(1),y,=2,x,+1,-,1的图象可由,y,=2,x,的图象向左平移1个单位,得,y,=2,x,+1,的图,象,再向下平移一个单位得到,y,=2,x,+1,-,1的图象,如图(1)所示.,解析,为了正确地作出函数的图象,必须做到以下两点:,(1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数,函数、对数函数、幂函数、形如,y,=,x,+,的函数;,(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常,用的方法技巧,来帮助我们简化作图过程.,识图与辨图,1.(2012青岛模拟)函数,y,=,ax,2,+,bx,与,y,=lo,x,(,ab,0,|,a,|,|,b,|)在同一直角,坐标系中的图象可能是,(),考点二,解析:从对数的底数入手进行讨论,再结合各个选项的图象从抛物线,与,x,轴交点的取值范围进行判断.,答案:D,解析,2.(密码原创)如图,函数,f,(,x,)的图象是曲线,OAB,其中点,O,A,B,的坐标分,别为(0,0),(1,2)(3,1),则,f,(,)=,.,解析:由图象知,f,(3)=1,=1,f,(,)=,f,(1)=2.,答案:2,解析,解析,对于给定函数的图象,要能从图象的左右、下上分布范围、变化趋势,、对称性等方面来获取图中所提供的信息,解决这类问题的常用方法,有:(1)定性分析法,也就是通过对问题进行定性地分析,从而得出图象,的上升(或下降)的趋势,利用这一特征来分析解决问题;(2)定量计算,法,也就是通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法,也就是由,所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解,决问题.,函数图象的应用,1.如图,质点,P,在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为,P,0,(,-,),角速度为1,那么点,P,到,x,轴的距离,d,关于时间,t,的函数图象大致为,(),考点三,解析:方法一:,P,从,P,0,出发,逆时针运动,t,=0时,d,=,t,与,d,满足关系式,d,=2,sin(,t,-,)(,t,0).所以选择C项.,解析,x,1,x,2,(,-,),|,x,1,|,|,x,2,|(0,)时函数为增函数,由,f,(,x,1,),f,(,x,2,)得,f,(|,x,1,|),f,(|,x,2,|),|,x,1,|,x,2,|,即,.,答案:,解析:因,f,(,x,)=,x,sin,x,是偶函数,所以应选择第二个图象.,解析,(1)递增区间为1,2,3,+,);递减区间为(,-,1,2,3.,(2)由(1)知函数在(,-,1和2,3上单调递减,而,f,(1)=(1,-,2),2,-,1=0,f,(3)=(3,-,2),2,-,1=0,所以函数的最小值为0.,由(1)知函数,f,(,x,)在1,2和3,+,)上单调递增,而,f,(2)=,-,(2,-,2),2,+1=1,由图象可知,f,(,x,)在1,3上的最大值为,f,(2)=1.,作直线,y,=,m,由图象可知,当0,m,1时,方程,f,(,x,)=,m,有四个不相等的实根.,M,=,m,|0,m,1.,1.函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等),为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,因此常用函数的图象研,究函数的性质.,2.有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解.,3.方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解.,解析,2.(2011全国高考)已知函数,y,=,f,(,x,)的周期为2,当,x,-,1,1时,f,(,x,)=,x,2,那,么函数,y,=,f,(,x,)的图象与函数,y,=|lg,x,|的图象的交点共有,(),A.10个B.9个C.8个D.1个,规范解答:根据,f,(,x,)的性质及,f,(,x,)在,-,1,1上的解析式可作图如下:,可验证当,x,=10时,y,=|lg10|=1;0,x,10时,|lg,x,|10时,|lg,x,|1.,结合图象知,y,=,f,(,x,)与,y,=|lg,x,|的图象交点共有10个.,答案:A,命题探究:以上两题体现了数形结合的思想,它常用来:研究方程根的,情况,讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等内容的题目.对这,类内容的选择题、填空题,数形结合特别有效.从今年的高考题来看,数形结合的重点是研究“以形定数”,但“以数助形”在今后的高考,中将会有所加强,应引起重视.,【原创预测】1.为了得到函数,f,(,x,)=log,2,x,的图象,只需将函数,g,(,x,)=log,2,的图象,.,解析:,g,(,x,)=log,2,=log,2,x,-,3=,f,(,x,),-,3,因此只需将函数,g,(,x,)的图象向上平移3,个单位长度即可得到函数,f,(,x,)=log,2,x,的图象.,答案:向上平移3个单位长度,解析,有,(),A.0,a,0B.,a,1且,b,0,C.0,a,1且,b,1且,b,0,解析:令,x,=0,则,y,=,b,由图象过第二、三、四象限知函数为减函数,且,b,0,故0,a,1且,b,0且,a,1)的图象经过第二、三、四象限,则一定,解析,