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上页,下页,几何与线性代数,柳庆新 讲授,几何与线性代数柳庆新 讲授,第,1,章 几何向量及其应用,第一节 向量及其线性运算,1.,定义(向量)既有数值大小(非负),,又有方向的量。,2.,定义(范数,/,模),向量 的数值大小,一、向量的概念,零向量,单位向量,第1章 几何向量及其应用第一节 向量及其线性运算,4.,定义,位于同一直线上,,或位于相互平行的直线上,思考:,两个向量 三个向量,线性相关,平行?,共面?,3.,定义,且方向相同;,且方向相反。,4.定义位于同一直线上,思考:3.定义且方向相同;且方向相反,引例,:,力的合成,-,平行四边形法,三角形法,注,1,:和与起点,O,的选取无关,1.,加法运算:,3:加法法则(四条),4:向量可以相加,但,不可以比较大小,5:范数可比较大小,二、向量的线性运算及其性质,A,运算法则:,2:减法,引例:力的合成-平行四边形法注1:和与起点O的选取无,2.,数乘运算:,注,1,:数乘向量性质(四条),注,2,:线性运算、单位向量、向量空间(线性空间),运算法则:,3,.,模的性质:,2.数乘运算:注1:数乘向量性质(四条)运算法则:3.模的,三、向量的共线与共面,1.,共线,:方向相同或相反,约定:,零向量共线于任何向量,定理,1,:,特别地,,三、向量的共线与共面1.共线:方向相同或相反定理1:特别,2.,共面,:将向量的支点放在同一点时,它们在同一平面上。,(或,,平行于同一平面的向量),推论,:,定理,2,:,平行六面体,定理,3,:,2.共面:将向量的支点放在同一点时,它们在同一平面上。,定义,设,1,,,2,,,,,n,是,一组,向量,,1,、若,k,1,,,k,2,,,,,k,n,是一组实数,称向量,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n,n,为向量组,1,,,2,,,,,n,的线性组合,称,可以由,1,,,2,,,,,n,线性表示。,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n,n,=0,则称向量组,1,,,2,,,,,n,线性相关,,,否则,称它们,线性无关,。,注:,若,1,,,2,,,,,n,线性无关,则,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n,n,=0,k,1,=k,2,=k,n,=0,2,、,若存在不全为零的,k,1,,,k,2,,,,,k,n,,满足,定义 设1,2,n 是一组向量,k,空间解析几何:用数量来研究向量的问题,,类似于平面解析几何需引入空间坐标系的概念。,回顾:,O,G,N,P,x,z,y,M,第二节 空间坐标系,空间解析几何:用数量来研究向量的问题,回顾:OGNPxz,一、仿射坐标系,定义(仿射坐标系),:,空间中一点,O,以及三个有次序的不共面向量,e,1,e,2,e,3,构成空间中一仿射坐标系,记为,O;e,1,e,2,e,3,一、仿射坐标系 定义(仿射坐标系):,1.,定义(直角坐标系):,e,1,e,2,e,3,为单位向量且两两垂直,此时坐标向量记为,i,j,k,注,1,:三坐标轴,三坐标平面两两垂直,注,2,:规定,x,y,z,轴的正方向,使之成右手系,定理,:,向量,在坐标系,o;,i,j,k,上的坐标,x,y,z,分别是,在相应坐标轴上的投影。即,(),i,=,x,(),j,=,y,(),k,=,z,z,x,y,A,B,O,M,C,二、直角坐标系,1.定义(直角坐标系):e1,e2,e3为单位向量且两两,2.,定义(方向余弦),例,:已知,=,(,-3,,,6,,,2,),求的方向余弦和与平行的单位向量,注,2,:单位向量的表示法,(两个),注,1,:,|,|=,?(勾股定理),在空间直角坐标系中,向量 与三个坐标向量,的夹角 称为向量的,方向角,;,方向角的余弦 称为向量 的,方向余弦,。,2.定义(方向余弦)例:已知=(-3,6,2),求的方向,第三节 向量的内积、外积和混合积,1.,引例(做功,),2.,定义两向量间的夹角:,(,I),已知两个非零向量,经平行移动后使它们有共同的始点,(II),夹角的范围,无向角,(III),几种类型,A,A,一、两个向量的内积,第三节 向量的内积、外积和混合积1.引例(做功)2.定,3.,内积定义,注,1:,内积是数,非向量。,规定,:,零向量和任何向量正交(垂直),定理:,内积的运算法则,正定性,交换律,结合律,分配律(重要),注,4:,注,3:,注,2:,3.内积定义注1:内积是数,非向量。规定:零向量和任何向量正,4.,向量投影定义:,注:投影是一数,正交投影向量:,o,B,A,o,B,A,4.向量投影定义:注:投影是一数 正交投影向量:oBAoB,1.,外积定义,:,注,1,:,注,2,:,性质,:,反交换律 结合律 分配律,例,:,二、两个向量的外积,1.外积定义:注1:注2:性质:反交换律,重点回顾,内积 外积,交角,cos sin,垂直 平行,应用,平行四边形,重点回顾 内积,有了坐标,便将 几何运算,代数运算,1.,线性运算,加法 数乘 距离,2.,内积,三、向量运算的坐标表示,有了坐标,便将 几何运算代数运算1.线性运算加法,3.,外积,引进二阶行列式,,,规定,太繁!,再次书写外积的结果!,注意:,的顺序,注:,如何记忆?,两两组合!,3.外积引进二阶行列式,规定太繁!再次书写外积的结果!注意:,几何与代数几何与代数-第一章-文档资料课件,4.,体积与行列式,P,O,注,1,:为何加,|,?,4.体积与行列式PO注1:为何加|?,定义(混合积):,推论:,用行列式表示混合积,四、三个向量的混合积,定义(混合积):推论:用行列式表示混合积四、三个向量的混合积,A,C,B,D,(,30,),(,5,),ACBD(30)(5),定义(法向量):,平面,通过一点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),且垂直于一条直线,l,设向量,n/l,则称,n,为平面,的法向量,坐标,(,a,b,c,),根据:,平面方程:,一、平面的点法式方程,第四节 平面及其方程,定义(法向量):根据:平面方程:一、平面的点法式方程第四节,平面的一般方程:,ax,+,by,+,cz,+,d,=0 (,a,2,+,b,2,+,c,2,0),二、平面的一般方程,:,定理,1,:,每一个平面可用,ax,+,by,+,cz,+,d,=0,表出,其中,a,2,+,b,2,+,c,2,0,定理,2,:,任给,ax,+,by,+,cz,+,d,=0,,其中,a,2,+,b,2,+,c,2,0,,则它恒代表,一个平面。,平面的一般方程:ax+by+cz+d=0 (a,确定平面的条件:,三个不共线的点,1,、三点式方程(例,1.4.2,),三、其它的平面方程,:,确定平面的条件:三个不共线的点1、三点式方程(例1.4.2),实质:,三点式方程,M,1,(,a,,,0,,,0,),,M,2,(,0,,,b,,,0,),,M,3,(,0,,,0,,,c,),,且,abc,0,平面方程:,2,、截距式方程,(,例,1.4.3),实质:三点式方程 M1(a,0,0),M2(0,b,0),总 结,平面:,(一),一点,+,两个不平行的向量,(三向量共面),(二),一点,+,法向量,例:,求通过,x,轴和点,(4,-3,-1),的平面方程,用两种方法(过原点),总 结平面:例:求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方,特殊平面,1.,a,=0,2.,d,=0,平面,过原点,3.,d=a,=0,平面,过,x,轴,4.,a=b,=0,平面,/,xoy,平面,平面,/,x,轴,特殊平面1.a=02.d=0平面过原点3.,注意要加绝对值!,四、两个平面的位置关系,注意要加绝对值!四、两个平面的位置关系,!,如何找出交线上的点,解:,为什么,?,!如何找出交线上的点解:为什么?,点到平面的距离:,d,=?,点到平面的距离:d=?,直线:一个点,+,一个方向(直线的方向),1.,参数方程,第五节 空间直线及其方程,一、空间直线的参数方程与对称式方程,直线:一个点 +一个方向(直线的方向)1.参数方程第,2.,对称式方程(标准方程、点向式方程),直线,L,的方向向量的坐标,m,,,n,,,p,称为直线,L,的,方向数,。,2.对称式方程(标准方程、点向式方程)直线L的方向向量的坐标,注:,中点的表示(参数方程),3.,两点式方程,注:中点的表示(参数方程)3.两点式方程,1.,一般式方程,(两平面的交线),二、空间直线的一般式方程,1.一般式方程(两平面的交线)二、空间直线的一般式方程,2.,一般式与对称式间的互换,解:,(,1,),(,2,),2.一般式与对称式间的互换解:(1)(2),3.,平面束,原因:,过直线,L,的平面有无穷多个,问题:,如何表示这些过,l,的平面(平面束)?,3.平面束原因:过直线L的平面有无穷多个问题:如何表示这些过,三、直线与平面、二直线之间的位置关系,1,、两直线间的相互位置,给定两条直线,(,1,)若共面,则,平行,相交,重合,(,2,)异面,三、直线与平面、二直线之间的位置关系1、两直线间的相互位置给,已知:,2,、,直线与平面的位置关系,已知:2、直线与平面的位置关系,M,0,M,0,M,1,注:,d,与,M,0,的选择无关,四、点到直线的距离,设直线,L,方程为:,M0M0M1注:d与M0的选择无关四、点到直线的距离设直线,o,l,P,0,P,1,olP0P1,
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