集合间的基本关系

1.,理解集合之间的包含与相等的含义,.,2.,能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系,.,3.,在具体情境中了解空集的含义并会应用,.,1.,本课重点是对子集、真子集、空集等概念的理解,.,2.,本课难点是子集有关概念的简单运用,.,1.Venn,图,Venn,图表示集合的优点在于：形象直观，通常用平面上,_,_,的,_,代表集合,.,封闭,的曲线,内部,2.,子集、真子集、集合相等的定义、符号表示及图示,符号：,_,A,是,B,的真子集指的是：,集合,A,与集合,B,相等是指：,A,中的任何一个元素,_,B,中的元素，同时,B,中的,任何一个元素也,_A,中,的元素,.,集合,A,是集合,B,的子集是,指集合,A,中,_,都是,_,中的元素,.,任意一个元素,集合,B,图示：,B A,符号：,都是,都是,A=B,图示：,A,（,B,）,图示：,B A,符号：,B A,A B,或,3.,空集,定义：不含,_,元素的集合,.,(1),符号表示：,_.,(2),规定：空集是任何集合的,_.,任何,子集,1.,正整数集,N,*,是自然数集,N,的子集吗？,提示：,是,.,集合,N,*,中的元素都是集合,N,中的元素，因此,N,*,N.,2.,和,有什么区别？,提示：,是空集，不含任何元素；,是集合，且此集合中含,有一个元素,.,3.,列举集合,1,3,的所有子集,_.,【,解析,】,由集合子集的含义可知，此集合的所有子集是，,1,，,3,，,1,3.,答案：,，,1,，,3,，,1,3,4.,设集合,A=,三角形,，,B=,等腰三角形,，,C=,等边三角形,，则,集合,A,、,B,、,C,之间的真包含关系是,_.,【,解析,】,等边三角形一定是等腰三角形，所以,CBA.,答案：,CBA,1.,子集概念解读,若,AB,，则,A,有以下三种情况：,A,是空集；,A,是由,B,的部分元素构成的集合；,A,是由,B,的全部元素构成的集合,.,2.,集合间的关系与实数中的结论对比,实 数,集 合,ab,包含两层含义：,a=b,或,ab.,AB,包含两层含义：,A=B,或,AB.,若,ab,且,ab,则,a=b.,若,AB,，且,BA,，则,A=B.,若,ab,bc,则,ac,.,若,AB,BC,，则,AC.,4.,关于空集的两点说明,(1),空集首先是集合，只不过空集中不含任何元素,.,(2),规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,.,因,此遇到诸如,AB,或,AB,的问题时，务必优先考虑,A=,是否满足,题意,.,5.,对符号,“,”,与,“,”,的三个提醒,(1),“,”,是表示元素与集合之间的关系，比如有,1N,-1N.,(2),“,”,是表示集合与集合之间的关系，比如有,NR,1,2,33,2,1.,(3),“,”,的左边是元素，右边是集合，而,“,”,的两边均为,集合,.,集合间关系的判断,【,技法点拨,】,判断集合间关系的程序,(1),准备活动：分析、化简每个集合,.,(2),方法分析：此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法将各个集合在数轴上表示出来，以形定数,.,(3),验证端点：验证端点值，一般含,“,=,”,用实心点表示，不含,“,=,”,用空心圈表示,.,【,典例训练,】,1.,下列关系中正确的个数为,(),00,；,0,；,0,1(0,1),；,(,a,b,)=,(,b,a,).,(A)1(B)2(C)3(D)4,2.,指出下列集合之间的关系：,(1)A=-1,1,，,B=xZ|x,2,=1,；,(2)A=x|-1x4,，,B=x|x-50,；,(3),已知集合,A=,x|x,=1+a,2,aR,，,B=,y|y,=a,2,-4a+5,aR.,【,解析,】,1.,选,B.,对，集合,0,含有,1,个元素,0,，故,00,正,确；对，由于空集是任何非空集合的真子集，故正确；对,，,0,1,是数集，而,(0,1),是点集，故错误；对，,(,a,b,),与,(,b,a,),是不同的点集，故错误,.,2.(1),由,x,2,=1,，得,x=,1,，,B=-1,1,，故,A=B,；,(2),集合,B=,x|x,0,B=(x,y)|x0,y0,或,x0,y0.,【,解析,】,(1)A,是偶数构成的集合，,B,是,4,的倍数构成的集合，,BA.,(2),集合,A,中元素表示的是第一、三象限内的点，集合,B,中元素,表示的也是第一、三象限内的点，所以,A=B.,确定集合的子集、真子集,【,技法点拨,】,子集、真子集的结论及求法,(1),与子集、真子集个数有关的四个结论,假设集合,A,中含有,n,个元素，则有：,A,的子集的个数为,2,n,个；,A,的真子集的个数为,2,n,-1,个；,A,的非空子集的个数为,2,n,-1,个；,A,的非空真子集的个数为,2,n,-2,个,.,以上结论在求解时可以直接应用,.,(2),求给定集合的子集的一般方法,求给定集合的子集,(,真子集,),时，一般按照子集所含的元素个数分类，再依次写出符合要求的子集,(,真子集,).,在写子集时注意不要忘记空集和集合本身,.,【,典例训练,】,1.,已知集合,A=0,，,1,，,2,，且,BA,，则集合,B=_.,2.,已知集合,AxN|-1x3,且,A,中至少有一个元素为奇数，,则这样的集合,A,共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合,.,【,解析,】,1.BA,，,B,是,A,的真子集，又,A=0,，,1,，,2,，集,合,B=,或,0,或,1,或,2,或,0,，,1,或,0,，,2,或,1,，,2.,答案：,或,0,或,1,或,2,或,0,，,1,或,0,，,2,或,1,，,2,2.,这样的集合共有,3,个,.,xN|-1x3=0,1,2,又,A0,，,1,，,2,且,A,中至少有一个元素为奇数，,当,A,中含有,1,个元素时，,A,可以为,1,；,当,A,中含有,2,个元素时，,A,可以为,0,，,1,，,1,，,2.,【,互动探究,】,题,1,若将,BA,改为,BA,，其他条件不变，则,结果又如何？,【,解析,】,由于,B,，所以,B,是非空集合，所以集合,B=0,或,1,或,2,或,0,，,1,或,0,，,2,或,1,，,2.,【,思考,】,对于集合的子集，能否将,B,的子集,A,理解为是由,B,的,“,部分元素,”,组成的？,提示：,不能这样理解，如是任何集合的子集，但不含任何元,素,.,由集合间关系求参数问题,【,技法点拨,】,由集合间关系求参数的方法及关注点,(1),方法,若集合中的元素是一一列举的，依据集合之间的关系，转化为解方程,(,组,),求解，此时要注意集合中元素的互异性,.,若集合表示的是不等式的解集，常借助于数轴转化为不等式,(,组,),求解，此时需注意端点值能否取到,.,(2),关注点：对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解,.,【,典例训练,】,1.(2012,郑州高一检测,),已知集合,A=-1,，,3,，,m,2,，且,B=3,，,4,，,B,A,则,m=_.,2.,已知集合,A=x|0 x4,B=,x|x,4.,【,变式训练,】,若,A=x|2x-a=0,B=x|-1x3,若,AB,，则实数,a,的取值范围是什么？,【,解析,】,由,2x-a=0,得,即,A=,由题意知需满足,-1 3,解得,-2a6,故实数,a,的取值范围是,a|-2a6.,【,规范解答,】,集合包含关系中的空集问题,【,典例,】(12,分,)(2012,济南高一检测,),已知集合,A=x|x,2,-4x+3=0,B=x|mx-3=0,且,BA,求实数,m,的集合,.,【,解题指导,】,【,规范解答,】,据题意知集合,A=1,，,3,，,2,分,当,B=,，即,m=0,时，满足,B,A.,4,分,当,B,，即,m0,时，,B=x|mx-3=0=,.,6,分,B,A,，,=1,或,=3,8,分,即,m=3,或,m=1.,10,分,综上所述，所求,m,的集合为,0,，,1,，,3.,12,分,【,规范训练,】,(12,分,),已知集合,A=x|2x4,，,B=,x|a,x2a,，,若,B,A,，求实数,a,的取值范围,.,【,解题设问,】,(1),本题需要讨论吗？,_,.,(2),若需要，应该以什么为讨论对象？怎样讨论？,由于,B,A,，集合,B,含参数，故需对,_,进行讨论,.,需要,集合,B,是否为空集,【规范答题】,若,B=,，则,a2a,即,a0,时，满足,B,A.,4,分,若,B,，则,a0,，,6,分,要使,B,A,需满足 解得,a=2.,9,分,a=2.,10,分,综上所述，,a=2,或,a0.,12,分,4.,已知集合,A=,x|x,3,B=,x|x,a,若,A=B,，则,a=_.,【,解析,】,由于,A=B,，结合两集合可知,a=3.,答案：,3,5.,已知集合,A=x|x-72,B=x|x5,，化简集合,A,，并表示集,合,A,B,的关系,.,【,解析,】,A=x|x-72=x|x9,，,A,B,或,AB.,