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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,线性控制系统的状态空间描述,lyq,第一章 线性控制系统的状态空间描述,1.1,状态空间描述的概念,1.2,将系统的一般时域描述转化为状态空间 描述,1.3,将系统的频域描述转化为状态空间描述,1.4,状态方程的规范形式,第1页/共39页,1.2,将系统的一般时域描述转化为状态空间描述,由输入,-,输出描述求状态空间描述的问题称为,实现问题,仅对实现,单输入,-,单输出系统,的状态空间描述,(A,，,B,，,C,，,D),具有代表性的方法,。,单输入,-,单输出线性定常系统，输出和输入之间的因果关系可用,高阶微分方程来描述,1.2,将一般时域描述转化为状态空间描述,传递函数来描述,第2页/共39页,1.2,将系统的一般时域描述转化为状态空间描述,因此由输入,-,输出描述求取状态空间描述的问题，就归结为适当地选取一组状态变量和确定相应的系数矩阵,A,，,B,，,C,，,D,的问题,状态空间描述,可选,为系统的一组状态变量,1.,选取状态变量,则求状态方程和输出方程的步骤,不包含输入函数导数,高阶微分方程中，不包含输入函数的各阶导数,第3页/共39页,1.2,将系统的一般时域描述转化为状态空间描述,2.,化高阶微分方程为,的一阶微分方程组,系统的输出表达式为,3.,将方程组改写为向量形式,令,状态方程,输出方程,第4页/共39页,1.2,将系统的一般时域描述转化为状态空间描述,例,1-12,已知系统输入,-,输出描述为,试求其状态空间描述。,解：,选取,写成向量形式,第5页/共39页,1.2,将系统的一般时域描述转化为状态空间描述,包含输入函数导数,则求状态方程和输出方程的步骤,1.,选取状态变量,通常可选取输出变量,y,和输入变量,u,各阶导数的,适当组合,待定系数,第6页/共39页,1.2,将系统的一般时域描述转化为状态空间描述,中间变量,代入,:,第7页/共39页,对比等式,的系数,1.2,将系统的一般时域描述转化为状态空间描述,第8页/共39页,1.2,将系统的一般时域描述转化为状态空间描述,2.,导出状态变量的一阶微分方程组和输出表达式,3.,向量形式,第9页/共39页,1.2,将系统的一般时域描述转化为状态空间描述,例,1-13,解：,已知系统输入,-,输出描述为,试求其状态空间描述。,选取,状态方程和输出方程,第10页/共39页,1.3,将系统的频域描述转化为状态空间描述,1.3 将频域描述转化为状态空间描述,单输入,-,单输出线性定常系统，输出和输入之间的因果关系可用,:,高阶微分方程来描述,y,：输出变量，,u,：输入变量,传递函数来描述,第11页/共39页,1.3,将系统的频域描述转化为状态空间描述,系统传递函数的特征多项式的根为两两相异,当系统传递函数,的特征根,为两两相异时,展开为部分分式的形式,为状态变量,令,其拉氏变换满足,设,L,-1,得状态方程,第12页/共39页,1.3,将系统的频域描述转化为状态空间描述,L,-1,得输出方程,第13页/共39页,矩阵形式,对角线标准型,第14页/共39页,1.3,将系统的频域描述转化为状态空间描述,已知,试求其状态空间描述,例,1-15,解：,系统的极点为,两两相异,第15页/共39页,1.3,将系统的频域描述转化为状态空间描述,系统状态空间描述,第16页/共39页,1.3,将系统的频域描述转化为状态空间描述,系统传递函数的特征多项式的根有重根时,1.,有一个重根,重数为,r,其余为两两相异的根,第17页/共39页,选取状态变量 的拉氏变换为,第18页/共39页,1.3,将系统的频域描述转化为状态空间描述,状态方程和输出方程,L,-1,得状态方程,输出方程的拉氏变换为,:,L,-1,得输出方程,第19页/共39页,矩阵形式,1.3,将系统的频域描述转化为状态空间描述,约当,(Jordan),标准型,第20页/共39页,1.3,将系统的频域描述转化为状态空间描述,例,1-16,解：,已知系统的传递函数为,试求其状态空间描述,系统有一个三重极点,待定系数,系统状态空间描述,第21页/共39页,2.,同时有单极点和多个重极点,则可直接写出约当标准型的状态空间表达式,:,假定,为单极点,为,重极点,为,重极点,且有,第22页/共39页,第23页/共39页,1.4,状态方程的规范形式,1.4 状态方程的规范形式,线性定常系统的,系统矩阵,A,的矩阵值是表征系统的动力学特性的一个重要参量。系统的状态方程通过适当的线性非奇异变换而化为由特征值表征的约当规范型。当系统矩阵,A,的特征值为两两相异时，规范型具有对角线规范型的形式。,第24页/共39页,1.4,状态方程的规范形式,特征值及其不变性,线性定常系统,系统的,特征值,，即系统矩阵,A,的特征值，即特征方程,的根,特征值的性质,1,一个,n,阶系统的系统矩阵,A,，有且仅有,n,个特征值。,2,物理上可实现的系统，系统矩阵,A,的各元均为实数，因此其,n,个特,征值或为实数，或为共轭复数对。,3,对系统做非奇异变换，其特征值不变,。,证明,命题得证,第25页/共39页,1.4,状态方程的规范形式,4.,设,A,特征值，非零,n,维向量,A,的属于,特征向量,两两相异,因此由这些特征向量组成的矩阵,P,必为非奇异,特征向量,特征值,5,设,线性无关,第26页/共39页,1.4,状态方程的规范形式,将状态方程化为对角线标准型,定理,可将矩阵,A,化为对角线标准型,其中,若其特征值,为两两相异，则必有非奇异阵,为矩阵,A,相应于,的特征向量，,对于线性定常系统,一、矩阵,A,为任意形式,第27页/共39页,1.4,状态方程的规范形式,证明,P,为非奇异矩阵，且,两端左乘,命题得证,第28页/共39页,例,1-7,线性系统,其中,试将状态方程化为规范形式。,解：,特征值,两两相异,可化为对角线规范型,设特征向量,第29页/共39页,同理,状态方程的规范形式,第30页/共39页,1.4,状态方程的规范形式,二、矩阵,A,为相伴型,矩阵,A,的特征值两两互异时，,P,可取范德蒙矩阵,为矩阵,A,的互异特征值。,友矩阵,第31页/共39页,例,1-10,已知线性系统,其中,试将状态方程化为规范型,解：,系统的特征值两两相异，取非奇异变换矩阵,P,为,状态方程的规范型,第32页/共39页,1.4,状态方程的规范形式,矩阵,A,能否通过线形变换化为对角线标准型,关键在于能否找到,n,个线性无关的特征向量。若矩阵,A,有相同的特征值,仍存在,n,个线性无关的特征向量（化为对角型）,线性无关的特征向量个数小于,n,（化为约当标准型）,将状态方程化为约当标准型,第33页/共39页,1.4,状态方程的规范形式,比较上式两端各列,合并整理,两端左乘,将式,命题得证,第34页/共39页,定理,1.6,。则经非奇异变换，可将,A,化为,设矩阵,A,有,q,个重特征值为,而其余,n-q,个特征值为两两相异,其中,其中,为相应于重特征值,的特征向量；而,为相应于其余单特征值的特征向量。它们满足,分别为,第35页/共39页,1.4,状态方程的规范形式,例,1-8,设矩阵,A,为,将,A,化为约当标准型。,解：,系统特征值为,特征向量为,第36页/共39页,1.4,状态方程的规范形式,非奇异变换阵,P,为,第37页/共39页,1.4,状态方程的规范形式,矩阵,A,有,q,个重特征值为,，而其余,n-q,个特征值,为两两相异时，,P,可取为,为重特征值,的特征向量组成的矩阵，而,为其余相异特征值组成的矩阵,第38页/共39页,
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