杨辉三角与二项式定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3.2“,杨辉三角”与二项式系数的性质,一般地，对于,n N*,有,二项定理,:,一、新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过,杨辉三角,观察,n,为特殊值时，二项式系数有什么特点？,1,“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10,10,5 1,1 6 15 20 15 6 1,第,5,行,1 5 5 1,第,0,行,1,杨辉,三角,第,1,行,1 1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 1,第,6,行,1 6 15 6 1,第,n-1,行,1,1,第,n,行,1,1,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,1,2,5,第,5,行,1 5 10,10,5 1,第,6,行,1 6 15 20 15 6 1,第,7,行,1 7 21 35,35,21 7 1,第,1,行,1 1,第,0,行,1,第,2,行,1 2 1,第,3,行,1 3 3 1,第,4,行,1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第,8,行,1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和,;,这就是著名的,斐波那契数列,。,类似上面的表,早在我国南宋数学家,杨辉,1261年所著的,详解九章算法,一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里,“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和,，杨辉指出这个方法出于,释锁,算书，且我国北宋数学家,贾宪,（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家,帕斯卡,（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲,早五百年左右,，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以,r,为自变量的函数,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的,7,个孤立点,二项式系数的性质,2,二项式系数的性质,（,1,）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴,：,二项式系数的性质,（,2,）增减性与最大值,由于,：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,（,2,）增减性与最大值,由,：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当 时，,二项式系数的性质,（,2,）增减性与最大值,因此，,当,n,为偶数时,，中间一项的二项式,系数,取得最大值；,当,n,为奇数时,，中间两项的二项式系数 、,相等，且同时取得最大值。,（,3,）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于,：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,一般地，展开式的二项式系数,有如下性质：,（,1,）,（,2,）,（,3,）当 时，,（,4,）,当 时，,例题分析,:,例,1,证明：,（,1,）,(,a+b,),n,的展开式中,各二项式系数,的和,启示：,在二项式定理中,a,b,可以取任意实数，因此我们可以通过,对,a,b,赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法,赋值法,。,令,a,=,b,=1,，则,1答案,2答案,继续思考1:,（,2,）,试证明在(,a,+,b,),n,的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,证明：在展开式 中,令,a,=1，,b,=1得,小结,：,赋值法,在二项式定理中，,常,对,a,b,赋予一些特定的值,1,，,-1,等来整体得到所求,。,赋值法,例,2,小结：,求奇次项,系数之和与,偶次项系数的和,可以先赋值，然后解方程组整体求解,思考：,1.当n,10时常用杨辉三角处理二项式系数问题,;,2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;,3.常用赋值法解决二项式系数问题.,课外思考:,1.求证：,2.(1,x,),13,的展开式中系数最小的项是 ()(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项,C,思考3,2答案,思考2,求证:,略证：由(1+,x,),n,(1+,x,),n,=(1+,x,),2,n,，两边展开后比较,x,n,的系数得：,再由 得,思考:求证：,证明：,倒序相加法,思考3.,在,(3,x,-,2,y,),20,的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)系数最大的项;,解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则,即 3(,r,+1)2(20,-,r,)得,2(21,-,r,)3,r,所以当,r,=8时，系数绝对值最大的项为,（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大。（以下同2）,r,=5.,即 3(r+1)2(20-r)得,2(21-r)3r,所以当r=8时，系数绝对值最大的项为,课堂练习：,1,）已知 ，那么,=,；,2,）的展开式中，二项式系数的最大值是,；,3,）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则,n=,；,例,1,证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,4,项的二项式系数是倒数第,2,项的二项式系数的,7,倍，求展开式中,x,的一次项,例,2,已知 的展开式中，第,例,3,：,的展开式中第,6,项与第,7,项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。,变式引申：,1,、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）,A.,第,4,项,B.,第,4,、,5,项,C.,第,5,项,D.,第,3,、,4,项,2,、,若 展开式中的第,6,项的系数最大，则不含,x,的项等于,(),A.210 B.120 C.461 D.416,例,4,、,若 展开式中前三项系数成等差,数列，求,（,1,）展开式中含,x,的一次幂的项；,（,2,）,展开式中所有,x,的有理项；,（,3,）展开式中系数最大的项。,1,、已知 的展开式中,x,3,的系数,为 ，则常数,a,的值是,_,2,、在,(1-x,3,)(1+x),10,的展开式中,x,5,的系数是（）,A.-297 B.-252 C.297 D.207,3,、,(x+y+z),9,中含,x,4,y,2,z,3,的项的系数是,_,课堂练习,4.,已知,(1+,),n,展开式中含,x-2,的项的系数为,12,，求,n.,5.,已知（,10+x,lgx,）,5,的展开式中第,4,项为,10,6,，求,x,的值,.,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,小结,