近世代数简介课件

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,近世代数简介,群,(group):,一个集合，一种运算,满足,G1:,封闭性,G2:,结合性,G3:,单位元存在,G4:,逆元存在,交换群,G5:,交换性,加群一定是交换群，加群一定含零元素,乘群不一定是交换群，乘群一定不含零元素,包含无数个元素的群称为,无限群,。,包含有限个元素的群称为,有限群,，有限群元素的个数称为该群的,阶,。,群,(,G,，,*,),中，集合,G,的非空子集,S,在同样的运算,*,下可构成群,(,S,，,*,),，称群（,S,，,*,）为群（,G,，,*,）的,子群,（,Subgroup,）。,(,S,*),为,(,G,*),子群的充要条件是：对于任何,a,、,b,S,必有,a,*,b,1,S,。充要条件的这种表述形式，强调了子群元素逆元的存在性以及子群的封闭性。,拉格朗日定理（,Lagranges,）,:,有限群,(,G,，,*,),的子群,(,S,，,*,),的阶数一定是群,(,G,，,*,),阶数的,因子,。,若,(,A,*),，（,B,*,）分别是群,(,G,*),的两个子群，则,A,、,B,的交集在同样运算下也构成,(,G,*),的子群（,A,B,，*）。,某一元素,a,（称作生成元,a,）的一切乘幂,a,0,a,1,a,2,的全体组成一个群，称为循环群，写作,G,=a,0,a,1,a,2,其中,a,0,=e,是单位元。,若序列,a,0,=e,，,a,1,a,2,中没有两个元素是相等的，称之为无限循环群。,豫章故郡，洪都新府。星分翼轸，地接衡庐。襟三江而带五湖，控蛮荆而引瓯越。物华天宝，龙光射牛斗之墟；人杰地灵，徐孺下陈蕃之榻。雄州雾列，俊采星驰。台隍枕夷夏之交，宾主尽东南之美。都督阎公之雅望，棨戟遥临；宇文新州之懿范，襜帷暂驻。十旬休假，胜友如云；千里逢迎，高朋满座。腾蛟起凤，孟学士之词宗；紫电青霜，王将军之武库。家君作宰，路出名区；童子何知，躬逢胜饯。,时维九月，序属三秋。潦水尽而寒潭清，烟光凝而暮山紫。俨骖騑于上路，访风景于崇阿；临帝子之长洲，得天人之旧馆。层峦耸翠，上出重霄；飞阁流丹，下临无地。鹤汀凫渚，穷岛屿之萦回；桂殿兰宫，即冈峦之体势。,披绣闼，俯雕甍，山原旷其盈视，川泽纡其骇瞩。闾阎扑地，钟鸣鼎食之家；舸舰迷津，青雀黄龙之舳。云销雨霁，彩彻区明。落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色。渔舟唱晚，响穷彭蠡之滨；雁阵惊寒，声断衡阳之浦。,遥襟甫畅，逸兴遄飞。爽籁发而清风生，纤歌凝而白云遏。睢园绿竹，气凌彭泽之樽；邺水朱华，光照临川之笔。四美具，二难并。穷睇眄于中天，极娱游于暇日。天高地迥，觉宇宙之无穷；兴尽悲来，识盈虚之有数。望长安于日下，目吴会于云间。地势极而南溟深，天柱高而北辰远。关山难越，谁悲失路之人？萍水相逢，尽是他乡之客。怀帝阍而不见，奉宣室以何年？,嗟乎！时运不齐，命途多舛。冯唐易老，李广难封。屈贾谊于长沙，非无圣主；窜梁鸿于海曲，岂乏明时？所赖君子见机，达人知命。老当益壮，宁移白首之心？穷且益坚，不坠青云之志。酌贪泉而觉爽，处涸辙以犹欢。北海虽赊，扶摇可接；东隅已逝，桑榆非晚。孟尝高洁，空余报国之情；阮籍猖狂，岂效穷途之哭！,勃，三尺微命，一介书生。无路请缨，等终军之弱冠；有怀投笔，慕宗悫之长风。舍簪笏于百龄，奉晨昏于万里。非谢家之宝树，接孟氏之芳邻。他日趋庭，叨陪鲤对；今兹捧袂，喜托龙门。杨意不逢，抚凌云而自惜；钟期既遇，奏流水以何惭？,呜乎！胜地不常，盛筵难再；兰亭已矣，梓泽丘墟。临别赠言，幸承恩于伟饯；登高作赋，是所望于群公。敢竭鄙怀，恭疏短引；一言均赋，四韵俱成。请洒潘江，各倾陆海云尔：,滕王高阁临江渚，佩玉鸣鸾罢歌舞。,画栋朝飞南浦云，珠帘暮卷西山雨。,闲云潭影日悠悠，物换星移几度秋。,阁中帝子今何在？槛外长江空自流。,路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！,若上述序列中有两个相等的元素,a,i,=a,j,(,i,j,),，可推出,G,的元素必以,n,为周期重复，即,a,n,=a,0,=e,这样的循环群称为有限循环群。,循环群也叫幂群，具有以下性质：循环群是交换群；循环群的子群仍是循环群；,n,阶循环群子群的阶数一定是,n,的因子。,例,2.1,：令,R,、,I,、,E,分别是有理数、整数、偶数集合，则,(E,+),是,(I,+),的子群，则,(I,+),是,(R,+),的子群，单位元均是,0,。奇数集合,O,在加法运算下构不成群，因不满足封闭性条件,百度文库,VIP,特权福利,特权说明,服务特权,VIP,专享文档下载特权,VIP,用户有效期内可使用,VIP,专享文档下载特权下载或阅读完成,VIP,专享文档（部分,VIP,专享文档由于上传者设置不可下载只能阅读全文），每下载,/,读完一篇,VIP,专享文档消耗一个,VIP,专享文档下载特权。,年,VIP,月,VIP,连续包月,VIP,享受,60,次,VIP,专享文档下载特权，一次发放，全年内有效。,VIP,专享文档下载特权自,VIP,生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为,1,个月，发放数量由您购买的,VIP,类型决定。,每月专享,9,次,VIP,专享文档下载特权，自,VIP,生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号,-,我的设置随时取消。,共享文档下载特权,VIP,用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和,VIP,专享文档），每下载一篇共享文档消耗一个共享文档下载特权。,年,VIP,月,VIP,连续包月,VIP,享受,100,次共享文档下载特权，一次发放，全年内有效,赠送的共享文档下载特权自,VIP,生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为,1,个月，发放数量由您购买的,VIP,类型决定。,赠送每月,15,次共享文档下载特权，自,VIP,生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号,-,我的设置随时取消。,累积特权,在购买的,VIP,时长期间，下载特权不清零。,100W,优质文档免费下载,VIP,有效期内的用户可以免费下载,VIP,免费文档，不消耗下载特权，非会员用户需要消耗下载券,/,积分获取。,部分付费文档八折起,VIP,用户在购买精选付费文档时可享受,8,折优惠，省上加省；参与折扣的付费文档均会在阅读页标识出折扣价格。,内容特权,0,下载券文档一键搜索,VIP,用户可在搜索时使用专有高级功能：一键搜索,0,下载券文档，下载券不够用不再有压力！,无限次复制特权,VIP,有效期内可以无限次复制文档内容，不用下载即可获取文档内容,文档格式转换,VIP,有效期内可以将,PDF,文档转换成,word,或,ppt,格式，一键转换，轻松编辑！,阅读页去广告,VIP,有效期内享有搜索结果页以及文档阅读页免广告特权，清爽阅读没有阻碍。,多端互通,VIP,有效期内可以无限制将选中的文档内容一键发送到手机，轻松实现多端同步。,其他特权,抽奖特权,开通,VIP,后可以在,VIP,福利专区不定期抽奖，千万奖池送不停！,福利特权,开通,VIP,后可在,VIP,福利专区定期领取多种福利礼券。,VIP,专享精彩活动,开通,VIP,后可以享受不定期的,VIP,优惠活动，活动多多，优惠多多。,VIP,专属身份标识,当您成为百度文库,VIP,后，您的专有身份标识将被点亮，随时随地彰显尊贵身份。,专属客服,VIP,专属客服，第一时间解决你的问题。专属客服,QQ,：,800049878,VIP,礼包,百度阅读,VIP,精品版特权,享受阅读,VIP,精品版全部权益：,1.,海量精选书免费读,2.,热门好书抢先看,3.,独家精品资源,4.VIP,专属身份标识,5.,全站去广告,6.,名人书友圈,7.,三端同步,知识影响格局，格局决定命运！,例,2.3,集合,G,=0,1,2,m,-1,在模,m,加（用符号,表示）运算下构成一个群（,G,，,）。,该加群是,m,阶有限群，单位元是,0,。元素,0,的逆元是,0,，,1,的逆元是,m,-1,2,的逆元是,m,-2,。,例,2.4,：集合,G,=1,2,q,-1,在模,q,乘（,q,是素数）运算下构成一个乘群（,G,，,）。,为什么有限加群对模数,m,无要求，而有限乘群要求模数,q,必须为素数？,如果模为合数，其因子一定能整除它，不会产生一个余数,1,（单位元），因此逆元不存在。,比如，,1,2,3mod4,中的,2,，,1,2,3,4,5,6,7,8 mod9,中的,3,如果,a,的逆元是,b,，必有关系式,a,b=nq+1,这样才会有,（,a,b),mod q=1,四进制乘群不存在？！,环,（,Ring),一个集合，二种运算,加法成“群”乘法不成“群”,G1:,封闭性,G1:,封闭性,G2:,结合性,G2:,结合性,G3:,单位元存在,G3:,单位元存在,G4:,逆元存在？,分配性,交换环,乘法交换率,由于环并不涉及乘法逆元的是否存在，因此模,m,不是素数也能构成有限环。但这是,零因子环,，乘法消除律不成立。,若,a,是,m,的因子，,a,b=0,，,而,a,0,，,b,0,称,a,、,b,为,零因子,。,有零因子时，乘法消除率不能成立，即从,a,b=a,c(mod m),不能推得,b=c(mod m),，因为当,c=0,时，前式成立而后式并不成立。带来的后果是，方程,a,x=0,无唯一解，因为,x=0,和,x=b,都是解。,有限环,（,Ring),一个有限集合，模m加，模m乘,一般m,可能是零因子环,素数,q 整环,子环（,subring,）,理想子环（强收敛性）,主理想（所有元素是一个元素幂的线性组合）,若集合,S,是集合,R,的子集（,S,R,），,判断,(,S,+,),是,(,R,+,),子环的充要条件是,1,a,、,b,S,，,a,b,S,。,2,a,、,b,S,，,a,b,S,。,上述条件,1,强调了子环中加法逆元的存在和封闭性，条件,2,强调了乘法封闭性。,理想子环的充要条件是：,若,R,是交换环，,I,是,R,的非空子集，如满足,1,a,、,b,I,，,a,b,I,。,2,a,I,、,r,R,，,a,r=r,a,I,，,则,I,是,R,的,理想子环，简称理想,若理想子环的所有元素可由一个元素,a,的各次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环,主理想子环，简称主理想,域,（,Field),一个集合，二种运算,加法成“群”去零后乘法也成“群”,G1:,封闭性,G1:,封闭性,G2:,结合性,G2:,结合性,G3:,单位元存在,G3:,单位元存在,G4:,逆元存在 非零元素逆元存在,分配性,交换环,乘法交换率,有限整数集合,F,=0,1,2,q,-1(,q,是素数,),在模,q,加、模,q,乘运算下构成一个,q,阶有限域，又称伽逻华,(Galois),域，记作,GF(,q,),。,当,q,=2,时，就是二元域,GF(2),。,可以证明，伽逻华域,GF(,q,),的,(,q,-1),个 非零元素在模,q,乘运算下构成一个循环群（幂群），即所有非零元素可以由一个元素,（该元素称作生成元或本原元）的各次幂,0,、,1,、,2,、,q,-2,生成。,元素,各 次 幂,元素,的阶,加法,逆元,乘法,逆元,0,1,2,3,1,1,1,1,1,1,4,1,2,1,2,4,3,4,3,3,3,1,3,4,2,4,2,2,4,1,4,1,4,2,1,4,表,2-1 GF(5),各非零元素的幂、阶及逆元,既约多项式,Irreducible Polynomials,对于某数域上的多项式,P,I,（,x,），若除了常数,C,以及,C,P,I,（,x,）外不能被该数域上的任何其它多项式整除，则称为是该数域上的既约多项式。,本原多项式,Primary Polynomials,对于有限域,G