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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学习目标,1.,理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；,2.,会用判别式判断一元二次方程的根的情况；,3.,根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围,.,（重点、难点）,导入新课,问题：,老师写了,4,个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？,回顾：,用配方法解方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0).,解：二次项系数化为,1,，得,x,2,+,x,+=0.,配方，得,x,2,+,x,+,(,),2,-,(,),2,-,=0,移项，得,（,x,+,）,2,=,问题,1,：,接下来,能用直接开平方解吗？,讲授新课,一元二次方程根的判别式,一,问题,2,：,什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？,（,x,+,）,2,0,4,a,2,0.,当,b,2,4,ac,0,时,x,1,=,x,2,=,当,b,2,4,ac,=,0,时,x,1,=x,2,=,当,b,2,-4,ac,0,时,不能开方,(,负数没有平方根,),所以原方程没有实数根,.,两个不相等实数根,两个相等实数根,没有实数根,两个实数根,判别式的情况,根的情况,我们把,b,2,-4,ac,叫做一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,根的判别式,，通常用符号“”表示，即,=,b,2,-4,ac,.,0,=0,0,时,方程有两个不相等的实数根,.,b,2,-4,ac=,0,时,方程有两个相等的实数根,.,b,2,-4,ac,-1 B.,k,-1,且,k,0,C.,k,1 D.,k,0,，同时要求二次项系数不为,0,，,即,，,k,0.,解得,k,-1,且,k,0,，故选,B,.,B,应用,3,：,不解方程判断一元二次方程的根的情况,例,3:,不解方程，判断下列方程的根的情况,（,1,）,3,x,2,+4,x,3=0,；（,2,）,4,x,2,=12,x,9;(3)7,y,=5(,y,2,+1).,解：（,1,）,3,x,2,+4,x,3=0,，,a,=3,b,=4,c,=,3,b,2,4,ac,=3,2,43(,3)=52,0.,方程有两个不相等的实数根,（,2,）方程化为：,4,x,2,12,x,+9=0,b,2,4,ac,=(,12),2,449=0.,方程有两个相等的实数根,例,3,:,不解方程，判断下列方程的根的情况,(3)7,y,=5(,y,2,+1,).,解：（,3,）方程化为：,5,y,2,7,y,+5=0,b,2,4,ac,=(,7),2,455=,51,0.,方程有两个相等的实数根,当堂练习,1.,关于,x,的一元二次方程 有两个实根，则,m,的取值范围是,.,注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况,.,解：,2.,不解方程，判断下列方程的根的情况,（,1,）,2,x,2,+3,x,-4=0,；（,2,）,x,2,-,x,+=0;(3),x,2,-,x,+1=0.,解：（,1,）,2,x,2,+3,x,-4=0,，,a,=2,b,=3,c,=-4,b,2,-4,ac,=3,2,-42(-4)=41,0.,方程有两个不相等的实数根,（,2,）,x,2,-,x,+=0,a,=1,b,=-1,c,=.,b,2,-4,ac,=(-1),2,-41 =0.,方程有两个相等的实数根,（,3,）,x,2,-,x,+1=0,，,a,=1,b,=-1,c,=1.,b,2,-4,ac,=(-1),2,-411=-30.,方程无实数根,3.,不解方程，判别关于,x,的方程,的根的情况,.,解：,所以方程有两个实数根,能力提升：,在等腰,ABC,中，三边分别为,a,b,c,，其中,a,=5,，若关于,x,的方程,x,2,+(,b,+2),x,+6-,b,=0,有两个相等的实数根，求,ABC,的周长,.,解：,关于,x,的方程,x,2,+(,b,+2),x,+6-,b,=0,有两个相等的实,数根，,所以,=,b,2,4,ac,=(,b,-2),2,-4(6-,b,)=,b,2,+8,b,-20=0.,所以,b,=-10,（舍去）或,b,=2.,所以,ABC,的三边长为,2,，,5,，,5,（,2,，,2,，,5,不符合三边关系，舍去），,其周长为,2+5+5,=,12,.,根的判别式：,b,2,-4,ac,课堂小结,判别式大于,0,，方程有两个不相等的实数根,判别式小于,0,，方程没有实根,判别式等于,0,，方程有两个相等的实根,温故知新,直线与圆的位置关系有下面的性质:,如果O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么,(1)dr 直线l与O相交,(2)d=r 直线l与O相切,(3)d,r,直线l与O相离,新课引入,请按照下述步骤作图:,如图,在O上任取一点A,连结OA,过点A作直线lOA,O,A,思考以下问题:,(1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系?,(2)直线l和O的位置有什么关系?根据什么?,(3)由此你发现了什么?,相等,d=r,相切,特征一：直线L经过半径OA,的外端点A,特征二：直线L垂直于半径OA,知识要点,一般地,有以下直线与圆相切的判定定理:,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,O,A,l,OA是O,的半径,lOA,于A,l是O的切线,经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,判断下图中的,l,是否为O的切线,半径,外端,垂直,证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：过半径外端,垂直于这条半径。,例题分析,例1.已知:如图A是O外一点,AO的延长线交O于点C,点B在圆上,且AB=BC,A=30.求证:直线AB是O的切线,A,B,C,O,证明：连结OB,OB=OC，AB=BC，A=30,OBC=C=A=30,AOB=C+OBC=60,ABO=180-（AOB+A）,=180-（60+30）,=90,ABOB,AB为O的切线,做一做：,如图是的直径，请分别过，作的切线,O,B,一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径。,巩固练习,1、如图，已知点B在O上。根据下列条件，能否判定直线AB和O相切？,OB=7,AO=12,AB=6,O=68.5,A=2130,？,2、,如图，AB是O的直径，AT=AB，ABT=45。,求证：AT是O的切线,巩固练习,？,例2.如图,台风P(100,200)沿北偏东30方向移动,受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市A(200,380),B(600,480),C(550,300),D(370,540)中,哪些受到这次台风的影响,哪些不受到台风的影响?,0,100,400,500,600,700,300,200,X(km),y(km),600,500,400,300,200,100,30,P,A,B,C,D,课内练习,O,P,S,T,Q,2.,如图,OP是O的半径,POT=60,OT交O于S点.,(1)过点P作O的切线.,(2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点,并说明理由.,探究活动,请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.,(1)过点P是否都能作这个圆的切线?,(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线?,(3)点P在什么位置时,能作两条切线?这两条切线有什么特性?,(4)能作多于2条的切线吗?,点在圆内不能作切线,点在圆上,点在圆外,相等,不能,补充例3,、如图已知直线AB过O上的点C，并且,OAOB，CACB 求证：直线是O的切线,B,A,C,证明：,连接OC,OA=OB，CA=CB,OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线,ABOC,直线经过半径的外端C，并且垂直于半径OC，所以AB是O的切线,已知ABC内接于O,直线EF过点A,（1）如图1，AB为直径，要使得EF是,O,的切线，还需添加的条件是,或,。,（2）如图2，AB为非直径弦，且CAE=B,求证：EF为,O,的切线。,例,F,E,C,B,A,O,C,B,E,F,A,O,一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径。,例5,、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC是O 的切线。,C,A,B,D,E,证明：,作OEBC于E,点O为ABC平分线上一点,ODAB于D,OEOD,又OD为O半径,圆心到直线BC的距离等于半径，所以BC与O相切,证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可,切线的判定方法有：,、切线的判定定理。,、直线到圆心的距离等于圆的半径。,、直线与圆有唯一个公共点。,小结,切线的判定定理：经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆,的切线。,、经过半径外端的直线是圆的切线。,、垂直于半径的直线是圆的切线。,、过直径的外端并且垂直于这条直径的,直线是圆的切线。,、和圆只有一个公共点的直线是圆的切,线。,、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上,的高为半径的圆与底边相切。,是非题：判断下列命题是否正确。,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,、填空：,在三角形OAB中,若OA=4,OB=4,圆O的半径是2,则当AOB=_时,直线AB与圆O相切。,、选择：下列直线能判定为圆的切线是（）,A、与圆有公共点的直线,B、垂直于圆的半径的直线,C、过圆的半径外端的直线,D、到圆心的距离等于该圆半径的直线,练习,D,120度,如图,已知AB是O的直径,O过BC的中点D,且DEAC.,(1)求证:DE是O的切线.,(2)若C=30,CD=10cm,求的半径,O,.证明题：,4、如图，AB是O的直径，弦AD平分BAC，,过A作ACDC，,求证：DC是O的切线。,巩固练习,？,5 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，CDADBC。,求证：以CD为直径的O与AB相切,E,证明：过点O作OEAB,垂足为E。,ADBC,ABBC,ADAB,而OEAB ADOEBC,巩固练习,？,小结,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,切线的判定定理:,这个定理不仅可以用来,判定圆的切线,还可以依据它来,画切线.,在判定切线的时候,如果,已知点在圆上,则,连半径,是常用的辅助线,作OEBC于E,当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时,辅助线：,是过圆心作这条直线的垂线段。,再证明这条垂线段的长等于半径。,连结OC,当已知条件中直线与圆已有一个公共点时,辅助线,：是,连结,圆心和这个公共点。,再证明这条半径与直线垂直。,例3,、如图已知直线AB过O上的点C，并且OAOB，CACB,求证：直线是O的切线,B,A,C,例5,、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC与作O相切。,C,A,B,D,E,作OEBC于E,当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时,辅助线：,是过圆心作这条直线的垂线段。,再证明这条垂线段的长等于半径。,连结OC,当已知条件中直线与圆已有一个公共点时,辅助线,：是,连结,圆心和这个公共点。,再证明这条半径与直线垂直。,例3,、如图已知直线AB过O上的点C，并且OAOB，CACB,求证：直线是O的切线,B,A,C,例5,、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC与作O相切。,C,A,B,D,E,
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