研究生数值分析课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数值分析,第1章 绪论,数值分析,1,1 数值分析的研究对象,科学计算就是通过建立数学模型把科学技术问题转化为数学问题，然后对数学问题进行离散化，将其转化为数值问题，最后使用数值计算方法计算出数值问题的解，并把所得到的解作为原科学技术问题的解。,1 什么是科学计算,1 数值分析的研究对象 科学计,2,数值分析是计算数学中最基本的内容，它研究如何用数值计算方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性、数值稳定性和误差估计等问题。,数值分析是计算数学中最基本的内容，它,3,2 误差知识与算法知识,1 误差的来源：引起误差的原因是多方面的,（1）模型误差：从实际问题转化为数学问题，建立数学模型时，数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差。,（2）观测误差：数学模型中一些根据观测得到的物理量，如：电压、温度、长度等，不可避免会带来误差，称为观测误差。,2 误差知识与算法知识1 误差的来源：引起误差的原因,4,（3）截断误差：（又称方法误差）计算机在实际计算时，必须在有限的时间内得到计算结果，就需要选用适当的数值计算方法求解，由此产生的误差称为截断误差或方法误差。,（4）舍入误差：由于计算机字长有限，只能对有限位进行运算，因而往往进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入误差。,（3）截断误差：（又称方法误差）计算机在实际计算时，,5,误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝对准确，是办不到的。因此，在计算方法里讨论的问题就是怎样尽量设法减少误差，提高精度。,在四中误差中，模型误差和观测误差是客观存在的，截断误差和舍入误差是由计算方法和计算工具引起的，我们在研究数学问题的数值解法时，主要是分析讨论计算方法的截断误差和舍入误差。,误差是不可避免的，要做到与实际问题的绝对准确，是,6,例如 在计算机上计算级数,取前三项计算,的近似值,产生了有限过程代替无限过程的误差，即截断误差或方法误差。,截断误差是,：,例如 在计算机上计算级数 取前三项计算,7,比如：在尾数四位的浮点计算机上用0.3333表示产生的舍入误差,用递推公式,计算,产生的误差,少量舍入误差是微不足道的，但是在计算机上完成千百万次运算后，舍入误差的积累有时可能是十分惊人的。,请现在推导此结果,比如：在尾数四位的浮点计算机上用0.3,8,绝对误差、相对误差与有效数字是用来描述一个近似值的准确程度的。,若,为准确值,x,的一个近似值，则称,为近似值 的绝对误差，用 表示，,即,2 绝对误差、相对误差与有效数字,(1)绝对误差与绝对误差限：,绝对误差、相对误差与有效数字是用来描述一个近似,9,称 为,的绝对误差限。,实际问题中，由于无法知道准确值,x,因而无法计算绝对误差的大小，只能根据具体情况估计绝对误差的上限使,称 为 的绝对误差限。实际,10,在工程技术中，将准确值,x,近似值,绝对误差限 关系表示成,例如,表示近似值,绝对误差限,绝对误差,有关系,绝对误差的大小不能刻画近似值的准确程度。,在工程技术中，将准确值x,近似值例如,11,例如:近似值,的绝对误差限,是近似值,的绝对误差限,的二倍。,因为在100内差2比10内差1更准确些，这说明一个近似值的准确度，不仅与绝对误差的大小有关，还与准确值本身的大小有关。,例如:近似值的绝对误差限是近似值的绝对误差限的二倍。,12,若,x,的近似值 的绝对误差为,则称比值,为近似值 的相对误差,用 表示,即,当,较小时,(2)相对误差与相对误差,限：,若 x 的近似值 的绝对误差为则称比值,13,是 的平方级,可忽略不计，,在实际计算中,x,往往不知道，因此将,作为近似值的相对误差。,如果 ,使,成立，则称正数 为近似值,的相对误差限。,(常用百分数表示),是 的平方级可忽略不计，在实际计算中,14,例如,的相对误差和相对误差限分别是,和,近似值 比,的准确度好得多。,例如 的相对误差和相对误差限分别是和 近似值 比,15,(3)有效数字：,的,半个单位，且该位数字直到,左边第一位非零数字共有,n,位，则称近似值 有,n,位有效数字。,例如,，若,则绝对误差限,近似值,具有三位有效数字。,如果近似值,的绝对误差限是其某位数上,(3)有效数字：的半个单位，且该位数字直到 左,16,（4）有效数：,称近似值末位也是有效数字的近似数为,有效数。,此时，绝对误差限不超过末位单位的一半。,有效数的有效数字位数等于左起第一位非零数字到末位数字的位数。,例如有效数,有 2 位有效数字，绝对误差限为,（4）有效数：例如有效数有 2 位有效数字，绝对误差限为,17,有 5 位有效数字，绝对误差限为0.005，,相对误差限为0.0000102。,有 3 位有效数字，绝对误差限为0.00005，,相对误差限为0.00102。,练习：,指出有效数,的有效数字位数，绝对误差限和相对误差限。,相对误差限为,有 5 位有效数字，绝对误差限为0.005，相对误差限为0.,18,一般地，对于非零近似值,的如下规格化形式,如果,则称近似值 有,位有效数字。,一般地，对于非零近似值的如下规格化形式如果则称近似值,19,3 函数求值的误差估计,（1）数值运算中误差的传播,数值运算中，由于所给数据的误差，必然影响到计算结果的准确性，这种影响较复杂，一般采用泰勒级数展开的方法来估计。,、,3 函数求值的误差估计（1）数值运算中误差的传播、,20,设 分别是,的近似值，,在计算,时，,用,作为函数,的近似值，,于是函数近似值,的绝对误差,即 (1),设 分别是 的近似值，在,21,函数近似值,的相对误差,利用（1）、（2）两式，可以得到两数和、差、积、商的绝对误差与相对误差传播的估计式.,（2）,函数近似值 的相对误差 利用（1）、（2）两式，可以得,22,请现在推导这些结果,请现在推导这些结果,23,4 算法及其计算复杂性,从误差传播规律和计算机字长的特点，在数值运算中必须注意以下几个原则。,(1）使用数值稳定的计算公式,在运算过程中舍入误差对结果影响不大的算法称为稳定的算法。,研究算法的稳定，一种简便的方法是：假定初始值有误差 ,中间不产生新误差，考察由 引起的误差积累是否增长，如不增长就认为是稳定的，如严重增长就认为不稳定。,4 算法及其计算复杂性(1）使用数值稳定的计算公式,24,例如：建立积分,的递推关系式，研究它的误差传递。,和,可建立递推公式,（1）,解：由,例如：建立积分 的递推关系式，研究它的误差传递。和可建立递,25,设计算,时的舍入误差为 ，,即,因而实际计算的递推公式是：,（,(2）,误差,是怎么传递的？,的近似值为 ,设计算 时的舍入误差为 ，即因而实际计算的递推公式是,26,（1）-（2）得,递推得到,可以看出误差,e,0,对第,n,步的影响扩大了,倍。当,n,较大时，误差将淹没真值。用,近似,是不正确的。,（1）-（2）得递推得到 可以看出误差e0 对第n 步的影,27,若由,解出,先求出,，然后依次算出,使用广义积分中值定理:,若函数,在区间 上不变号且可积，,连续，则,怎样求,I,20,呢？,若由 解出 先求出 ，然后依次算出使用广义积分中值定理:,28,有,所以,于是,粗略地取,由,有所以于是粗略地取由,29,由此得到,该方法对,的舍入误差 传递情况是,由此得到该方法对 的舍入误差 传递情况是,30,递推可得,所以,误差传递逐步缩小，实际计算求得,它是,ln,6-,ln,5,的具有8位有效数字的近似值。,满足,则称计算公式是绝对稳定的。,如果第,n,+1步的误差,e,n,+1,与第步,n,的误差,e,n,递推可得 所以误差传递逐步缩小，实际计算求得它是ln6-ln,31,(2）避免两相近数相减,由两近似值差,的相对误差关系式,可以看出:,可能比 大得多。,当 与,相近，即 时，,就可能很大，从而导致计算结果的有效数字位数的减少。,(2）避免两相近数相减可以看出:可能比,32,例如：相近两数相减,(1)式的准确值为0.00000003392191,准确值的计算过程,用具有舍入功能的八位计算器计算,（1）,现在推导该计算过程,（2）,例如：相近两数相减(1)式的准确值为0.000000033,33,（,1）式计算结果的有效数字位数是1位，绝对误差的精度是,（2）式计算结果的有效数字位数是8位，绝对,误差的精度是,。,该,算法稳定性好，得到一个精度很高的近似值。,（1）式计算结果的有效数字位数是1位，绝对误差的精度,34,(3）,避免用绝对值很大的数作乘数、绝对值很小的数作除数,可知，当乘数,x,1,*,或,x,2,*,绝对值很大时，,可能很大，,又由,可知，当,x,2,*,接近于0时，也可能很大。,由二元函数的误差传播规律式,(3）避免用绝对值很大的数作乘数、绝对值很小的数作除,35,由于计算机的字长有限，又要作对阶处理，在数值运算中，如果数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可能出现大数“吃掉”小数的现象。,(4),防止大数“吃掉”小数,例如：大数“吃掉”小数,有两个互异实根,如果用求根公式,一元二次方程,由于计算机的字长有限，又要作对阶处理，在数值运算,36,在尾数为八位的浮点计算机上计算，则得,其中,明显错误。,这是因为在尾数八位的浮点计算机上计算时,表明,与1两数相加，大数 “吃掉”了小数1。,于是所得两根为,在尾数为八位的浮点计算机上计算，则得,其中,37,若利用,求出,，然后利用,求出,，就可以保证一元二次方程,两个根都是可靠的。,若利用 求出 ，然后利用求出 ，就可以,38,同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可以节省计算机计算的时间，而且还能减少舍入误差，这是数值计算必须遵守的原则，也是计算方法要研究的主要内容之一。,(5),注意简化计算步骤，减少运算次数,例如：计算,的值。,若将,x,的值逐个相乘，要做30次乘法，若按,计算，只要8次运算就可以了。,同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可以节,39,又如计算多项式,的值，若直接计算,再逐项相加，一共要做,次乘法和,n,次加法。,若按如下嵌套形式从里向外一层层地计算,又如计算多项式的值，若直接计算 再逐项相加，一共要,40,设,得递推公式,设 得递推公式,41,于是,，此为秦九韶（宋代数学家）法。只需要做,n,次乘法和,n,次加法。,求,的值，可按如下方法：,例如：求 在,的值。,解：,得,于是 ，此为秦九韶（宋代数学家）法。只需要,42,练习:误差估计与有效数字,1、若记正数,x,的相对误差限为,，估计,lnx,的误差限。,解：记,x,的近似值为,x,*,，按题意,故,即近似值,lnx,*,的误差限约为,。,练习:误差估计与有效数字1、若记正数x 的相对误差限为，估,43,2、下列各数是经过四舍五入得到的近似数,指出它们有几位有效数字.,估计下列近似数的误差限,2、下列各数是经过四舍五入得到的近似数指出它们有几位有效数字,44,解:,(1),由有效数字的概念知，各数依次为5，,2，4，5，1位有效数字。,（2）记对应于,的精确值为,1）设,，则,的误差限,解:(1)由有效数字的概念知，各数依次为5，（2）记,45,2）设,，则近似数,的误差限,2）设，则近似数的误差限,46,3）设,，则近似数,的误差限,3）设，则近似数的误差限,47,