级多项式方程求根

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,推导公式,f,(,x,),a,0,x,n,+a,1,x,n-,1,+,+a,n,-1,x+a,n,=,0,多项式,f,(,x,),除以,(,x,-,x,k,),设商为,Q,(,x,)=,b,0,x,n-,1,+b,1,x,n-,2,+,+b,n,-2,x+b,n-,1,余数为,b,n,则,f,(,x,)=(,x,-,x,k,),Q,(,x,),+b,n,将,f,(,x,),和,Q,(,x,),代入上式,有,a,0,x,n,+a,1,x,n-,1,+,+a,n,-1,x+a,n,=(,x-x,k,)(,b,0,x,n-,1,+b,1,x,n-,2,+,+b,n,-2,x+b,n-,1,)+,b,n,=,b,0,x,n,+,(,b,1,-x,k,b,0,),x,n-,1,+,(,b,2,-x,k,b,1,),x,n,-2,+,+b,n,-x,k,b,n-,1,由两个多项式相等的充要条件,得,b,0,=a,0,b,1,=a,1,+x,k,b,0,b,2,=a,2,+x,k,b,1,b,n,=a,n,+x,k,b,n-,1,递推关系式,(2),(1),f,(,x,k,),的计算格式,设,x,k,是方程,f,(,x,),=,0,的近似解,说明,实际上是用秦九韶计算顺序计算,f,(,x,k,),=,b,n,.,多项式,Q,(,x,),除以,(,x,-,x,k,),设商为,H,(,x,)=,c,0,x,n-,2,+c,1,x,n-,3,+,+c,n,-3,x+c,n-,2,余数为,c,n-,1,则,Q,(,x,)=(,x,-,x,k,),H,(,x,),+c,n-,1,将,Q,(,x,),和,H,(,x,),代入上式,有,b,0,x,n,-1,+b,1,x,n,-2,+,+b,n,-2,x+b,n,-1,=(,x-x,k,)(,c,0,x,n-,2,+c,1,x,n-,3,+,+c,n,-3,x+c,n-,2,)+,c,n-,1,=,c,0,x,n-,1,+,(,c,1,-x,k,c,0,),x,n-,2,+,(,c,2,-x,k,c,1,),x,n,-3,+,+c,n-,1,-,x,k,c,n-,2,由两个多项式相等的充要条件,得,c,0,=b,0,c,1,=b,1,+x,k,c,0,c,n,-1,=b,n,-1,+x,k,c,n,-2,递推关系式,对,f,(,x,)=(,x,-,x,k,),Q,(,x,),+b,n,求导,得,并考虑到式,(3),式,有,(3),(2),f,(,x,k,),的计算格式,Q,(,x,)=,b,0,x,n-,1,+b,1,x,n-,2,+,+b,n,-2,x+b,n-,1,(3),牛顿法求多项式方程的根的计算步骤,取,x,0,=0,或找出初始值,x,0,.,对,k=,0,1,2,计算,误差判断,，或用,|,x,k,+1,-,x,k,|,例,1,设,f,(,x,)=,x,3,x,2,+2,x,+5,若取,x,0,=-1,用递推公式计算,f,(,x,k,),f,(,x,k,),并按牛顿迭代过程计算,x,k+,1,k,=0,1,.,计算结果如表,1,所示,.,0,-1,1,-2,4,1,1,-3,7,0.142857,1,-1.142857,1,-2.142857,4.448979,-0.084546,1,-3.285714,9.141426,-0.010305,2,-1.129807,1,-2.129807,4.406241,-0.021764,1,-3.259614,8.089006,0.002691,3,-1.132498,1,-2.132498,4.415050,-0.000035,1,-3.264996,8.089006,-0.000004,4,-1.132494,1,-2.132494,4.415037,-0.000003,表,1,2.,劈因子法,(,牛顿法的推广,),使用范围,求实多项式的复根,思想方法,从多项式的某个近似二次因式出发,用迭代的方法,使之逐步精确,求出满足精度要求的数值解,.,(1),推导公式,f,(,x,),a,0,x,n,+a,1,x,n-,1,+,+a,n,-1,x+a,n,=,0,f,(,x,),除以,x,2,+,ux+v,设商为,p,(,x,)=,b,0,x,n-,2,+b,1,x,n-,3,+,+b,n,-3,x+b,n-,2,余数为,r,0,x,+,r,1,因此,有,f,(,x,)=(,x,2,+,ux+v,),p,(,x,),+r,0,x,+,r,1,r,0,r,1,都是,u,v,的函数,即,若,r,0,r,1,越小,x,2,+,ux+v,越接近,f,(,x,),的二次因式；若,r,0,=0,r,1,=0,，则,x,2,+,ux+v,是,f,(,x,),的二次因式,但是,x,2,+,ux+v,是,f,(,x,),的,近似,二次因式,设,x,2,+,ux+v,为,f,(,x,),的一个近似二次因式，,因此,r,0,0,r,1,0,解关于,u,v,的,非线性方程组,设其真解为,(,u,*,v,*),则有,且,x,2,+,u*x+v*,是,f,(,x,),的精确二次因式,.,将其左端在,(,u,v,),展开到一阶项,令,运用牛顿切线法的思想将非线性方程线性,化，解关于,线性方程组,得到增量,可得到改进的二次因式,其解比,x,2,+,ux+v,的解更接近真解,因此,上式是,x,2,+,ux+v,的改进式,.,f,(,x,)=(,x,2,+,ux+v,),p,(,x,),+r,0,x,+,r,1,下面说明方程组,(5),系数的计算方法,.,且,x,2,+,u*x+v*,是,f,(,x,),的精确二次因式,.,下求,的近似解,r,0,r,1,的计算,下面说明方程组,(5),系数的计算方法,.,将,p,(,x,)=,b,0,x,n-,2,+b,1,x,n-,3,+,+b,n,-3,x+b,n-,2,代入,f,(,x,)=(,x,2,+,ux+v,),p,(,x,),+r,0,x,+,r,1,比较系数，得,f,(,x,)=,a,0,x,n,+a,1,x,n-,1,+,+a,n,-1,x+a,n,b,0,=a,0,b,1,=a,1,-ub,0,b,2,=a,2,-ub,1,-vb,0,b,n-,2,=a,n-,2,-ub,n,-3,-vb,n,-4,r,0,=a,n-,1,-ub,n,-2,-vb,n,-3,r,1,=a,n,-vb,n,-2,的计算,将,f,(,x,)=(,x,2,+,ux+v,),p,(,x,),+r,0,x,+,r,1,对,v,求偏导数,注意,x,2,+,ux+v,是,v,的函数,p,(,x,),是,f,(,x,),除以,x,2,+,ux+v,的商,故,p,(,x,),也是,v,的函数,f,(,x,),和,v,无关,因此有,或,r,1,=b,n,+ub,n,-1,或,r,0,=b,n-,1,的计算,将,f,(,x,)=(,x,2,+,ux+v,),p,(,x,),+r,0,x,+,r,1,对,v,求偏导数,注意,x,2,+,ux+v,是,v,的函数,p,(,x,),是,f,(,x,),除以,x,2,+,ux+v,的商,故,p,(,x,),也是,v,的函数,f,(,x,),与,v,无关,因此有,其中,为,n-,4,次多项式，记为,代入,(6),式,并与,p,(,x,),表达式相比较,有相应的递推关系,c,0,=b,0,c,1,=b,1,-ub,0,c,i,=b,i,-uc,i-,1,-vc,i,-2,(,i,=2,3,n,-3),s,0,=b,n-,3,-uc,n-,4,-vc,n,-5,s,1,=c,n,-2,+,uc,n-,3,p,(,x,)=,b,0,x,n-,2,+b,1,x,n-,3,+,+b,n,-3,x+b,n-,2,或,s,0,=c,n-,3,c,n-,4,=b,n-,4,-uc,n-,5,-vc,n,-6,或,s,1,=b,n,-2,-v,c,n-,4,由,(6),式知,的计算,将,f,(,x,)=(,x,2,+,ux+v,),p,(,x,),+r,0,x,+,r,1,对,u,求偏导数,有,式,(6),两端乘,x,并整理,有,比较,(7),式与,(8),式,有,注,初始近似二次因式可从物理背景给出,也可从数学上估计,.,以上这种由,f,(,x,)=0,的近似二次因式,x,2,+,ux+v,求出更精确的二次因式,的方法称为,劈因子法,.,设,f,(,x,)=,x,n,+a,1,x,n-,1,+,+,a,n,-2,x,2,+a,n,-1,x+a,n,则其末尾二次因式,是该多项式的一对最小复根的近似二次因式,.,证,设方程,f,(,x,)=0,的,n,个根,由根与系数的关系（,Vieta,定理）有,因此有,即,是对应于一对最小复根的,近似,二次因式,.,(2),估计代数多项式二次因式的一种方法,例,2,用劈因子法求,x,4,+8,x,3,+39,x,2,-62,x,+50=0,的一对最小复根的二,次因式,.,解,取对应一对最小复根的尾部二次式,x,2,-,1.6,x,+1.3,作为初始近似,二次因式,.,计算结果如表,2,所示,.,0,-1.6 1.3,1,-6.4,27.6,-9.744,-1.2884,1,-4.8,18.48,26.064,-0.3628 0.6333,1,-1.9628 1.9333,1,-6.0372,25.2169,-0.8325,-0.3819,1,-4.0744,15.2864,37.0487,-0.03684 0.06607,2,-1.9996 1.9994,1,-6.0004,25.0022,-0.0084,-0.0022,1,-4.0008,15.0028,37.9904,-0.0004 0.0007,表,2,2,-1.9996 1.9994,1,-6.0004,25.0022,-0.0084,-0.0022,1,-4.0008,15.0028,37.9904,-0.0004 0.0007,3,-2.0000 2.0001,1,-6.0000,24.9999,0.0004,-0.0015,1,-4.0000,14.9998,38.00,0 -0.0001,4,-2.0000 2.000,1,-6.0000,25.0000,0,0,1,-4.0000,15.0000,38.00,0 0,表,2,所求二次因式为,注,误差判断,|,x,k,+1,-,x,k,|,1.,理解,牛顿法、劈因子法求多项式方程根,的思想方法,;,本课重点：,2.,会,用,牛顿法、劈因子法编程,求,多项式方程根,.,用,劈因子法求方程,x,4,+7,x,3,+24,x,2,+25,x,15=0,的二次,因式（精确到,10,-4,）,.,上机作业,本节例题,1,、,2,及下面的题,