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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,浅谈杨辉三角的奥秘及应用,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,这个表就称为,杨辉三角,杨辉三角,这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉,1261,年所著的,详解九章算法,一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：,杨辉,中国南宋末年数学家、数学教育家。大约在,13,世纪 中叶至后半叶活动于苏、杭一带。字谦光，钱塘（今杭州）人。其生卒年及生平无从详考。杨辉的数学著作甚多有,日用算法,杨辉算法,等,“,杨辉三角,”,出现在杨辉编著的,详解九章算法,一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元,11,世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于,11,世纪在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角杨辉三角的发现要比欧洲早,500,年左右,.,杨辉三角基本性质,1.,三角形的两条斜边上都是数字,1,，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,2.,杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端,“,等距离,”,的两个数相等,3.,每一行的第二个数就是这行的行数,4.,所有行的第二个数构成等差数列,5.,第,n,行包含,n+1,个数,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,1,1,1,1,2,1,1,3,3 1,1,4,6 4 1,1,5,10 10 5 1,1,6,15 20 15 6 1,1,7,21 35 35 21 7 1,1,8,28 56 70 56 28 8 1,1,9,36 84 126 126 84 36 9 1,1,1 1,1 2,1,1 3,3,1,1 4,6,4 1,1 5,10,10 5 1,1 6,15,20 15 6 1,1 7,21,35 35 21 7 1,1 8,28,56 70 56 28 8 1,1 9,36,84 126 126 84 36 9 1,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,与数字,11,的幂的关系,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,与数字,2,的幂的关系,+,+,+,杨辉三角第,n,行中,n,个数之和等于,2,的,n-1,次幂。,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,斜行和水平行之间的关系,n,行中的第,i,个数是斜行,i-1,中前,n-1,个数之和,（,a+b),1,=,（,a+b),2,=,（,a+b),3,=,（,a+b),4,=,（,a+b),5,=,（,a+b),6,=,1,a+,1,b,1,a,2,+,2,ab+,1,b,2,1,a,3,+,3,a,2,b+,3,ab,2,+,1,b,3,1,a,4,+,4,a,3,b+,6,a,2,b,2,+,4,ab,3,+,1,b,4,1,a,5,+,5,a,4,b+,10,a,3,b,2,+,10,a,2,b,3,+,5,ab,4,+,1,b,5,1,a,6,+,6,a,5,b+,15,a,4,b,2,+,20,a,3,b,3,+,15,a,2,b,4,+,6,ab,5,+,1,b,6,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,与二项式展开系数的关系,（,a+b),n,展开式的系数就是杨辉三角的第,n,行,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,斐波那契数列,1,1,2,3,5,8,换一角度“斜”向看：,斜线的和依次为：,1,，,1,，,2,，,3,，,5,，,8,，,13,，,21,，,34,，,a,1,=1,a,2,=1,a,3,2,，,有：,a,n,=a,n-1,+a,n-2,(n3),斐波那契数与植物花瓣,3,百合和蝴蝶花,5,蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花,8,翠雀花,13,金盏和玫瑰,21,紫宛,34,、,55,、,89,雏菊,兔子繁殖问题,一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？,我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：,第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；,两个月后，生下一对小兔民数共有两对；,三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖,能力，所以一共是三对；,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,第,2k,行的数字特征,所有数的和是偶数,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,第 行的数字特征,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1,5 10 10 5,1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,行数整除所有的数,第,5,行,第,7,行,第,3,行,第,2,行,都是质数,行数为质数的数都能被行数整除,1,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 7 21 35 35 21 7 1,1 8 28 56 70 56 28 8 1,1 9 36 84 126 126 84 36 9 1,在弹球游戏中的应用,弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（,AG,区奖品最好，,BF,区奖品次之，,CE,区奖品第三，,D,区奖品最差）。,A B C D E F G,在弹球游戏中的应用,杨辉三角的实际应用,“,纵横路线图,”,是数学中的一类有趣的问题图,1,是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从,A,处走到,B,处,(,只能由北到南，由西向东,),，那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转,45,度，使,A,在正上方，,B,在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数,B,处的杨辉三角数与,A,到,B,的走法有什么关系,?,A,图,1,问：,纵横各有五条路呢？,B,结论：,有趣的是，,B,处所对应的数,6,，正好是答案,(6),一般地,每个交点上的杨辉三角数，就是从,A,到达该点的方法数由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系,A,B,1,1,1,1,1,2,3,3,6,A,B,D,C,A,B,
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