资源描述
8,.,5,垂直关系,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,4,5,1,.,直线与平面垂直,(1),直线和平面垂直的定义,如果一条直线和一个平面内的,任何,一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直,.,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,4,5,(2),判定定理与性质定理,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,4,5,2,.,直线与平面的夹角,平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫该直线与此平面的夹角,角的范围是,.,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,4,5,3,.,二面角的有关概念,(1),二面角,:,从一条直线出发的,两个半平面,所组成的图形叫二面角,.,(2),二面角的平面角,:,以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作,垂直于,棱的两条射线,这两射线所成的角叫二面角的平面角,.,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,4,5,4,.,平面与平面垂直,(1),平面与平面垂直的定义,:,两个平面相交,如果所成的二面角是,直二面角,就说这两个平面互相垂直,.,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,4,5,(2),判定定理与性质定理,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,4,5,5,.,常用结论,(1),线面平行或垂直的有关结论,若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面,.,若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线,(,证明线线垂直的一个重要方法,),.,垂直于同一条直线的两个平面平行,.,一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直,.,两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面,.,(2),证明线面垂直时,易忽视平面内两条线为相交线这一条件,.,2,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1,.,下列结论正确的画,“,”,错误的画,“,”,.,(1),已知直线,a,b,c,;,若,a,b,b,c,则,a,c.,(,),(2),直线,l,与平面,内的无数条直线都垂直,则,l,.,(,),(3),设,m,n,是两条不同的直线,是一个平面,若,m,n,m,则,n,.,(,),(4),若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面,.,(,),(5),若平面,内的一条直线垂直于平面,内的无数条直线,则,.,(,),答案,答案,关闭,(1),(2),(3),(4),(5),知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2,.,如图,O,为正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的底面,ABCD,的中心,则下列直线中与,B,1,O,垂直的是,(,),A.,A,1,D,B.,AA,1,C.,A,1,D,1,D.,A,1,C,1,答案,解析,解析,关闭,由题易知,A,1,C,1,平面,BB,1,D,1,D,又,OB,1,平面,DD,1,B,1,B,所以,A,1,C,1,B,1,O.,答案,解析,关闭,D,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3,.,将图,1,中的等腰直角三角形,ABC,沿斜边,BC,的中线折起得到空间四面体,A-BCD,(,如图,2),则在空间四面体,A-BCD,中,AD,与,BC,的位置关系是,(,),图,1,图,2,A.,相交且垂直,B.,相交但不垂直,C.,异面且垂直,D.,异面但不垂直,答案,解析,解析,关闭,在题图,1,中的等腰直角三角形,ABC,中,斜边上的中线,AD,就是斜边上的高,则,AD,BC,翻折后如题图,2,AD,与,BC,变成异面直线,而原线段,BC,变成两条线段,BD,CD,这两条线段与,AD,垂直,即,AD,BD,AD,CD,故,AD,平面,BCD,所以,AD,BC.,答案,解析,关闭,C,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4,.P,为,ABC,所在平面外一点,O,为,P,在平面,ABC,内的射影,.,(1),若,P,到,ABC,三边距离相等,且,O,在,ABC,的内部,则,O,是,ABC,的,心,;,(2),若,PA,BC,PB,AC,则,O,是,ABC,的,心,;,(3),若,PA,PB,PC,与底面所成的角相等,则,O,是,ABC,的,心,.,答案,解析,解析,关闭,(1),P,到,ABC,三边距离相等,且,O,在,ABC,的内部,可知,O,到,ABC,三边距离相等,即,O,是,ABC,的内心,;(2),由,PO,平面,ABC,且,BC,平面,ABC,得,PO,BC,又,PA,BC,PO,与,PA,是平面,POA,内两条相交直线,所以,BC,平面,POA,从而,BC,AO.,同理,AC,BO,所以,O,是,ABC,的垂心,;(3),由,PA,PB,PC,与底面所成的角相等,易得,Rt,POA,Rt,POB,Rt,POC,从而,OA=OB=OC,所以,O,是,ABC,的外心,.,答案,解析,关闭,(1),内,(2),垂,(3),外,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5,.,如图,PA,O,所在平面,AB,是,O,的直径,C,是,O,上一点,AE,PC,AF,PB,给出下列结论,:,AE,BC,;,EF,PB,;,AF,BC,;,AE,平面,PBC,其中真命题的序号是,.,答案,解析,解析,关闭,因为,AE,平面,PAC,BC,AC,BC,PA,所以,AE,BC,故,正确,;,因为,AE,PC,AE,BC,PB,平面,PBC,所以,AE,PB,又,AF,PB,EF,平面,AEF,所以,EF,PB,故,正确,;,因为,AF,PB,若,AF,BC,则,AF,平面,PBC,则,AF,AE,与已知矛盾,故,错误,;,由,可知,正确,.,答案,解析,关闭,知识梳理,双基自测,自测点评,1,.,在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行,还有可能异面、相交等,.,2,.,使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为,“,如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面,”,.,3,.,判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况,.,考点,1,考点,2,考点,3,例,1,(2016,浙江,文,18),如图,在三棱台,ABC-DEF,中,平面,BCFE,平面,ABC,ACB=,90,BE=EF=FC=,1,BC=,2,AC=,3,.,(1),求证,:,BF,平面,ACFD,;,(2),求直线,BD,与平面,ACFD,所成角的余弦值,.,思考,证明线面垂直的常用方法有哪些,?,考点,1,考点,2,考点,3,(1),证明,延长,AD,BE,CF,相交于一点,K,如图所示,.,因为平面,BCFE,平面,ABC,且,AC,BC,所以,AC,平面,BCK,因此,BF,AC.,又因为,EF,BC,BE=EF=FC=,1,BC=,2,所以,BCK,为等边三角形,且,F,为,CK,的中点,则,BF,CK.,所以,BF,平面,ACFD.,考点,1,考点,2,考点,3,考点,1,考点,2,考点,3,解题心得,1,.,证明线面垂直的方法,:,一是线面垂直的判定定理,;,二是利用面面垂直的性质定理,;,三是平行线法,(,若两条平行线中的一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面,),.,2,.,解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化,;,另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形,(,或给出线段长度,经计算满足勾股定理,),、直角梯形等等,.,考点,1,考点,2,考点,3,对点训练,1,如图,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,为棱,C,1,D,1,的中点,F,为棱,BC,的中点,.,(1),求证,:,AE,DA,1,;,(2),在线段,AA,1,上求一点,G,使得,AE,平面,DFG.,(1),证明,连接,AD,1,BC,1,.,由正方体的性质可知,DA,1,AD,1,DA,1,AB,又,AB,AD,1,=A,DA,1,平面,ABC,1,D,1,.,AE,平面,ABC,1,D,1,DA,1,AE.,(2),解,所求,G,点即为,A,1,点,证明如下,:,由,(1),可知,AE,DA,1,取,CD,的中点,H,连接,AH,EH,由,DF,AH,DF,EH,AH,EH=H,可得,DF,平面,AHE.,AE,平面,AHE,DF,AE.,又,DF,A,1,D=D,AE,平面,DFA,1,即,AE,平面,DFG.,考点,1,考点,2,考点,3,考点,1,考点,2,考点,3,例,2,如图,四边形,ABCD,为菱形,G,为,AC,与,BD,的交点,BE,平面,ABCD.,(1),证明,:,平面,AEC,平面,BED,;,(2),若,ABC=,120,AE,EC,三棱锥,E-ACD,的体积为,求该三棱锥的侧面积,.,思考,证明面面垂直的常用方法有哪些,?,考点,1,考点,2,考点,3,(1),证明,因为四边形,ABCD,为菱形,所以,AC,BD.,因为,BE,平面,ABCD,所以,AC,BE.,故,AC,平面,BED.,又,AC,平面,AEC,所以平面,AEC,平面,BED.,考点,1,考点,2,考点,3,考点,1,考点,2,考点,3,解题心得,1,.,两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形,.,2,.,由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直,.,3,.,平面和平面垂直的判定定理的两个条件,:,l,l,缺一不可,.,考点,1,考点,2,考点,3,对点训练,2,如图,直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,的底面是边长为,2,的正三角形,E,F,分别是,BC,CC,1,的中点,.,证明,:,平面,AEF,平面,B,1,BCC,1,.,考点,1,考点,2,考点,3,证明,如图,因为三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,是直三棱柱,所以,AE,BB,1,.,又,E,是正三角形,ABC,的边,BC,的中点,所以,AE,BC.,因此,AE,平面,B,1,BCC,1,.,而,AE,平面,AEF,所以,平面,AEF,平面,B,1,BCC,1,.,考点,1,考点,2,考点,3,考向一,平行与垂直关系的证明,例,3,(2016,江苏,16),如图,在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,D,E,分别为,AB,BC,的中点,点,F,在侧棱,B,1,B,上,且,B,1,D,A,1,F,A,1,C,1,A,1,B,1,.,求证,:(1),直线,DE,平面,A,1,C,1,F,;,(2),平面,B,1,DE,平面,A,1,C,1,F.,思考,处理平行与垂直关系的综合问题的主要数学思想是什么,?,考点,1,考点,2,考点,3,证明,(1),在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,A,1,C,1,AC.,在,ABC,中,因为,D,E,分别为,AB,BC,的中点,所以,DE,AC,于是,DE,A,1,C,1,.,又因为,DE,平面,A,1,C,1,F,A,1,C,1,平面,A,1,C,1,F,所以直线,DE,平面,A,1,C,1,F.,考点,1,考点,2,考点,3,(2),在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,A,1,A,平面,A,1,B,1,C,1,.,因为,A,1,C,1,平面,A,1,B,1,C,1,所以,A,1,A,A,1,C,1,.,又因为,A,1,C,1,A,1,B,1,A,1,A,平面,ABB,1,A,1,A,1,B,1,平面,ABB,1,A,1,A,1,A,A,1,B,1,=A,1,所以,A,1,C,1,平面,ABB,1,A,1,.,因为,B,1,D,平面,ABB,1,A,1,所以,A,1,C,1,B,1,D.,又因为,B,1,D,A,1,F,A,1,C,1,平面,A,1,C,1,F,A,1,F,平面,A,1,C,1,F,A,1,C,1,A,1,F=A,1,所以,B,1,D,平面,A,1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