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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1、问题的一般提法,5 随机变量的函数的分布（II）,例如,2 若,X,和,Y,独立,具有相同的分布N(0,1),求Z=(,X,2,+Y,2,),的密度函数,3 若,X,和,Y,独立，具有相同的分布N(0,1),且X=,Rcos,Y=,Rsin,(R0，02)，求(R,)的联合密度函数。,设(,X,Y,),的联合密度为,p,(,x,y,)，求,Z=X+Y,的密度.,一、和的分布,当X和Y独立时，则上述两式化为:,卷积公式,例1,例2,此结论,可以推广到,n,个独立正态随机变量之和的情形.,更一般地：,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,另外、离散型Z=X+Y的分布,P131ex29（4）,设（X,Y）的联合分布律为,Z=X+Y,的分布律,Y X,0 1 2 3 4 5,0,1,2,3,0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09,0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08,0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06,0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05,Z,0 1 2 3 4 5 6 7 8,p,0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05,类似地：可推出差Z=X-Y；商Z=X/Y的分布等.,设(X,Y)的联合密度为 p(x,y)，求Z=X+Y的密度.,设(X,Y)的联合密度为 p(x,y)，求Z=X+Y的密度.,0 1 2 3 4 5,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,另外、离散型Z=X+Y的分布,3 若X和Y 独立，具有相同的分布N(0,1),且X=Rcos,Y=Rsin,(R0，02)，求(R,)的联合密度函数。,一维连续随机变量函数的密度公式：,=P X =FX(),设(X,Y)的联合密度为 p(x,y)，求Z=X+Y的密度.,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,例4 若X和Y 独立，具有相同的分布N(0,1),且X=Rcos,Y=Rsin,07 0.,3 若X和Y 独立，具有相同的分布N(0,1),且X=Rcos,Y=Rsin,例3 若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),求Z=(X 2+Y 2)的密度函数,0 0.,例3,若,X,和,Y,独立,具有相同的分布N(0,1),求Z=(,X,2,+Y,2,),的密度函数,此分布称为Rayleigh分布,设(X,Y)的联合密度为 p(x,y)，求Z=X+Y的密度.,0 0.,类似地：可推出差Z=X-Y；,作业 P128 ex13，ex17,例4 若X和Y 独立，具有相同的分布N(0,1),且X=Rcos,Y=Rsin,设(X,Y)的联合密度为 p(x,y)，求Z=X+Y的密度.,例3 若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),求Z=(X 2+Y 2)的密度函数,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,作业 P128 ex13，ex17,另外、离散型Z=X+Y的分布,07 0.,一维连续随机变量函数的密度公式：,类似地：可推出差Z=X-Y；,例4,若,X,和,Y,独立，具有相同的分布N(0,1),且X=Rcos,Y=Rsin,(R0，02)，求(R,)的联合密度函数。,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,类似地：可推出差Z=X-Y；,(R0，02)，求(R,)的联合密度函数。,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,07 0.,0 1 2 3 4 5,5 随机变量的函数的分布（II）,(R0，02)，求(R,)的联合密度函数。,商Z=X/Y的分布等.,(R0，02)，求(R,)的联合密度函数。,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,此结论可以推广到n个独立正态随机变量之和的情形.,设(X,Y)的联合密度为 p(x,y)，求Z=X+Y的密度.,一维连续随机变量函数的密度公式：,(R0，02)，求(R,)的联合密度函数。,一维连续随机变量函数的密度公式：,3、一个公式,作业 P128 ex13，ex17,其中：,x=h(y),是,y=g(x),的反函数,一维连续随机变量函数的密度公式：,定理 设,r.v X,具有概率密度,f,(,x,),又设,y=g(x),处处可导，且对于任意,x,恒有,或恒有 ，则,Y=g,(,X,)是,连续型,r.v,，其概率密度为,P15 19；P23 2；P76 29；P94 55,解：设Y的分布函数为 F,Y,(,y,),，,例,求,Y=2X+8,的概率密度.,=P X =F,X,(),于是Y的密度函数为：,F,Y,(,y,),=,P Y,y,=,P(2X+8,y,),
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