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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 行列式,一.二（三）阶行列式,二.排列与逆序,三.,n,阶行列式的定义,四.行列式的性质,五.行列式按一行（列）展开,六.,Cramer,法则,行列式概念的形成,行列式的基本性质及计算方法,（定义）,利用行列式求解线性方程组,线性代数,是数学的一个分支，它的研究对象是,向量，向量空间（或称线性空间），,线性变换,和有限维的,线性方程组,。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和,泛函分析,中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于,自然科学,和社会科学中。,线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容,由于,费马,和,笛卡儿,的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到,n,维向量空间的过渡,矩阵论,始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点,1888,年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。,“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到,1859,年，清代著名的数学家、翻译家,李善兰,才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今,。,线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著,九章算术,）。,线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；,在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；,。,该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；,随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具,。,课程的性质与任务 线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：,、行列式,、矩阵,、向量组的相关性、矩阵的秩,、线性方程组,、相似矩阵与二次型,等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。,本章主要讨论以上三个问题。,首先来看行列式概念的形成,问题的提出：,求解二、三元线性方程组,二阶、三阶行列式,引出,一.二阶与三阶行列式,1.二阶行列式,二元线性方程组：,由消元法，得,得,同理，得,于是，当,时，方程组有唯一解,为便于记忆，引进,记号,称记号,为,二阶行列式,其中，数,称为元素,为行标，表明元素位于第 行,为列标，表明元素位于第 列,注：,(1)二阶行列式 算出来是一个数。,(2)记忆方法：对角线法则,主对角线上两元素之积 副对角线上两元素之积,因此，上述二元线性方程组的解可表示为,综上，令,则，,称,D,为方程组的系数行列式。,例1：,解方程组,解：,因为,所以,2.三阶行列式,类似地，为讨论三元线性方程组,引进,记号,称之为,三阶行列式,其中，数,称为元素,为行标，,为列标。,注：,(1)三阶行列式 算出来也是一个数。,(2)记忆方法：对角线法则,例：,对于三元线性方程组，若其系数行列式,可以,验证,，方程组有唯一解，,其中，,二.排列与逆序,定义1：,由自然数1，2，,n,组成的一个有序数组,称为一个,n,元,排列,。,例如：,1，2，3，4，5,5，1，2，3，4,5，3，2，1，4,都是数1，2，3，4，5的一个排列。,考虑：,n,个数的不同排列有 个。,n!,自然排列：,按数的大小次序，由小到大排列。,考虑：,n,元排列中，自然排列只有一种,除此之外，任一,n,元排列都一定出现较大数码,排在较小数码之前的情况。,定义2：,在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的,数前面，就称这两个数构成一个,逆序,。,一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的,奇排列：,逆序数为奇数的排列。,偶排列：,逆序数为偶数的排列。,逆序数,计算排列的逆序数的方法：,法1：,n,个数的任一,n,元排列，先看数1，看有多少个比1大的数,排在1前面，记为,再看有多少个比2大的数排在2前面，记为,继续下去，最后至数,n，,前面比,n,大的数显然没有，,则此排列的逆序数为,法2：,n,元排列,的逆序数,法3：,例1：,求排列 3，2，5，1，4 的逆序数。,解：,（法1）,（法2）,（法3）,例2：,求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序数。,考虑，在 1，2，3 的全排列中,有 个偶排列：,有 个奇排列：,123，231，312,132，213，321,3,3,一般说来，在,n,个数码的全排列中，奇偶排列各占一半,定义3：,把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码,不动，叫做对该排列作一次对换，简称,对换,。,将相邻的两个数对换，称为,相邻对换,。,定理1：,对换改变排列的奇偶性。,证明思路：,先证相邻变换，再证一般对换。,定理2：,时，,n,个数的所有排列中，奇偶排列各占,一半，各为,个。,证明：,设,n,个数的排列中，,奇排列有,p,个，偶排列有,q,个，,则,pqn！,对,p,个奇排列，施行同一对换，,则由定理1得到,p,个偶排列。,（而且是,p,个不同的偶排列）,因为总共有,q,个偶排列，所以,同理,所以,三.,n,阶行列式的定义,观察三阶行列式,寻找,规律,：,1.三阶行列式是 3！项的代数和。,2.每一项都是 元素的乘积。,3.（每项的符号规律）,取自不同行、不同列的 3 个,其任一项可写成：,其中,是123的一个排列,当,是偶排列时，项,取正号,当,是奇排列时，项,取负号,二阶行列式有类似规律。,根据二、三阶行列式的构造规律，我们来定义,n,阶行列式,定义1：,n,阶行列式,指的是,n！,项的代数和，,其中每一项都是取自不同行、不同列的,n,个元素的乘积，,其一般项为,这里,是12,n,的一个排列,当,是偶排列时，项前面带正号,当,是奇排列时，项前面带负号,即,其中,表示对所有,n,元排列取和,注：,(,1),当,n=1,时，一阶行列式,此处,不是,a,的绝对值，,例如行列式,定义表明，计算,n,阶行列式，首先必须作出所有的,可能的位于不同行、不同列的,n,个元素的乘积，把这些,乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列，,然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一,项的符号。,例1：,写出四阶行列式中含有因子,的项。,例2：,若,为四阶行列式的项，试确定,i,与,k，,使前两项带正号，,后一项带负号。,例4：,计算四阶行列式,例3：,计算行列式,四个结论：,(1),上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）,(2),下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）,(3),（显然）,(4),符号定理：,令,是,n,阶行列式中的任一项，,则项,的符号等于,证明：,由行列式定义可知，确定项,的符号，,需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列。,为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的,位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。,对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及,列标排列同时经过一次对换。,设对换前行标排列的逆序数为,s，,列标排列的逆序数为,t。,设经过一次对换后行标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,由定理，对换改变排列的奇偶性,所以，,是奇数,也是奇数,所以,是偶数，,即,是偶数，,所以,与,同时为奇数或同时为偶数。,即，交换项（1）中任意两个元素的位置后，其行标和列标,所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变。,另一方面，经过若干次对换项（1）中元素的次序，总可以,把项（1）变为,所以,得证。,由此，得行列式的等价定义,四.行列式的性质,性质1：,行列式与它的转置行列式相等。,称为,D,的,转置行列式,证明：,则,由行列式定义,说明,：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质,对列也成立，反之亦然。,性质2：,互换行列式的两行（列），行列式的值变号。,证明：,设,交换,s、t,两行，得,s,行,t,行,由行列式定义可知，,D,中任一项,可以写成,因为,（2）,（1）,显然这是,中取自不同行、不同列的,n,个元素的乘积，而且,（2）式右端的,n,个元素是按它们在,中所处的行标为自然顺序,排好的。因此,是,中的一项。,（3）,因为，排列,与排列,的,奇偶性相反，所以项（1）与项（3）相差一符号，这就证明,了,D,的任一项的反号是,中的项，同样可以证明,中的,任一项的反号也是,D,中的项。,因此，,DD,记法,行列式的第,s,行：,行列式的第,s,列：,交换,s、t,两行：,交换,s、t,两列：,推论：,如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0。,证明：,把相同的两行互换，有,DD，,所以,D0,性质3：,用数,k,乘行列式的某一行（列）中所有元素，,等于用数,k,乘此行列式。,推论：,行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面,记法,第,s,行乘以,k：,第,s,列乘以,k:,推论：,若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0。,性质4：,即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行,列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的,对应的行一样。,性质5：,行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数,k,后再加,到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。,记法,数,k,乘第,t,行加到第,s,行上：,证明：,作,得,利用行列式性质计算：,目标,化为三角形行列式,例1：,计算,例2：,计算,例3：,计算,例4：,计算,
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