2.3.1离散型随机变量均值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3.1,离散型随机变量的均值,引入：某商场为满足市场需求要将单价分别为,18,元,/kg,，,24,元,/kg,，,36,元,/kg,的,3,种糖果按,3,：,2,：,1,的 比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？,定价为,可以吗？,x,18,24,36,p,1/2,1/3,1/6,181/2+241/3+361/6 =23,=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36),如果你买了,1kg,这种混合,糖果，你要付多少钱？,而你买的糖果的,实际价值,刚好是,23,元吗？,权数,加权平均,则称 为随机变量,X,的,均值,或,数学期望,数学期望又简称为,期望,。,X,P,一般地,若离散型随机变量,X,的概率分布为,它反映了离散型随机,变量取值的平均水平,。,1,、离散型随机变量均值的定义,求离散型随机变量的均值,(,期望,),的步骤,：,、确定离散型随机变量可能的取值。,、写出分布列，并检查分布列的正确与否。,、求出均值,(,期望,),。,例,1,、随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子,的点数,X,的均值,X,1,2,3,4,5,6,P,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,解：随机变量,X,的取值为,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,其分布列为,所以随机变量,X,的均值为,E,（,X,）,=1,1/6+2,1/6,+3,1/6+4,1/6+5,1/6+6,1/6=3.5,你能理解,3.5,的含义吗？,变式,：将所得点数的,2,倍加,1,作为得分数，即,Y=2X+1,，试求,Y,的均值？,X,1,2,3,4,5,6,P,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,解：随机变量,Y,的取值为,3,，,5,，,7,，,9,，,11,，,13,其分布列为,所以随机变量,Y,的均值为,E,（,Y,）,=3,1/6+5,1/6,+7,1/6+9,1/6+11,1/6+13,1/6=8,Y,3,5,7,9,11,13,变式,：将所得点数的,2,倍加,1,作为得分数，即,Y=2X+1,，试求,Y,的均值？,X,P,Y,P,证：设离散型随机变量,X,的概率分布为,所以,Y,的分布列为,特别地：,E(c)=c(,其中,c,为常数,),设,X,为离散型随机变量，若,Y=aX+b,，其中,a,b,为常数，,则,E(Y)=E(aX+b)=,aE(X)+b,2,、随机变量的期望值（均值）的线性性质,1,、随机变量,的分布列是,1,3,5,P,0.5,0.3,0.2,(1),则,E()=,.,2,、随机变量,的分布列是,2.4,(2),若,=2+1,，则,E()=,.,5.8,4,7,9,10,P,0.3,a,b,0.2,E()=7.5,则,a=,b,=,.,0.4,0.1,练习：,解,:,的分布列为,所以,E(),0,P(,0),1,P(,1),0,0.15,1,0.85,0.85,例,2,、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得,1,分，罚不中得,0,分已知姚明目前罚球命中的概率为,0.85,，求他罚球,1,次的得分,的均值？,0,1,P,0.15,0.85,3,、几个特殊分布的期望,1-P,P,P,1-P,P,结论,1,：两点分布的期望：若,X,B,（,1,，,p,），则,E(X)=p,求证： 若,B(n,，,p),， 则,E()= np,E () =0C,n,0,p,0,q,n,+ 1C,n,1,p,1,q,n-1,+ 2C,n,2,p,2,q,n-2,+,+ kC,n,k,p,k,q,n-k,+ nC,n,n,p,n,q,0,P(=k)= C,n,k,p,k,q,n-k,证明：,=np(C,n-1,0,p,0,q,n-1,+ C,n-1,1,p,1,q,n-2,+ +,C,n-1,k-1,p,k-1,q,(n-1)-(k-1),+ C,n-1,n-1,p,n-1,q,0,), 0,1, k, n,P C,n,0,p,0,q,n,C,n,1,p,1,q,n-1, C,n,k,p,k,q,n-k, C,n,n,p,n,q,0,( k C,n,k,=n,C,n-1,k-1,),= np(p+q),n-1,=np,由题,B(10,，,0.85),则,E()=10,0.85=8.5,例,3,：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得,1,分，罚不中得,0,分已知姚明目前罚球命中的概率为,0.85,，求他罚球,10,次时进球个数,的均值？,结论,2,：二项分布的期望：若,B(n,，,p),， 则,E()= np,变式,1,：罚球,10,次的得分,的均值？,变式,2,：若罚球命中得,2,分，罚不中得,0,分，罚球,10,次的得分,X,的均值？,由题,B(10,，,0.85),则,E()=10,0.85=8.5,变式,3,：若罚球命中得,3,分，罚不中得,-1,分，罚球,10,次的得分,Y,的均值？,练习： 一个袋子里装有大小相同的,3,个红球和,2,个黄球，从中有放回地取,5,次，则取到红球次数的数学期望是,.,3,例,3,、,一次英语单元测验由,20,个选择题构成，每个选择题有,4,个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得,5,分，不作出选择或选错不得分，满分,100,分。学生甲选对任一题的概率为,0.9,，学生乙则在测验中对每题都从,4,个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。,解,：,设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是,和,，则,B(20,，,0.9),，,B(20,，,0.25),，,E(),20,0.9,18,，,E(),20,0.25,5,由于答对每题得,5,分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是,5,和,5,。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是,E(5),5E(),5,18,90,，,E(5),5E(),5,5,25,例,4,：根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为,0.25,有大洪水的概率为,0.01.,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失,60000,元,遇到小洪水损失,10000,元,.,为保护设备,有以下,3,种方案,:,方案,1,:,运走设备,搬运费为,3800,元,;,方案,2,:,建保护围墙,建设费为,2000,元,但围墙只能防小洪水,;,方案,3,:,不采取任何措施,希望不发生洪水,.,试比较哪一种方案好,?,例,5,、,袋中有,4,个红球,3,个黑球,从袋中随机取球,每取到,1,个红球得,2,分,取到一个黑球得,1,分,.,(1),今从袋中随机取,4,个球,求得分,的概率分布与期望,.,(2),今从袋中每次摸,1,个球,看清颜色后放回再摸,1,个球,求连续,4,次的得分,的期望,.,练习：某商场的促销决策：,统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利,2,万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利,10,万元；如遇下雨则损失,4,万元。,9,月,30,日气象预报国庆节下雨的概率为,40%,，商场应选择哪种促销方式？,商场促销问题,解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为 万元,则 的分布列为：,0.4,0.6,P,4,10,E = 100.6,(,4) 0.4 = 4.4,万元,变式,1,：,若下雨的概率为,0.6,呢,?,变式,2:,下雨的概率为多少时,在商场内、外搞 促销没有区别,.,2,万元,故应选择在商场外搞促销活动,.,（,2008,湖北卷,17,题）,袋中有,20,个大小相同的球，其中记上,0,号的有,10,个，记上,n,号的有,n,个（,n=1,2,3,4,）,.,现从袋中任取一球,.X,表示所取球的标号,.,（,）求,x,的分布列，期望,;,（,）若,解：（,）,X,的分布列：,X,的期望,：,X,0,1,2,3,4,P,（,）,六,.,摸彩中奖问题,一个布袋内装有,6,个红球与,6,个黄球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸,6,个球，输赢的规则为：,6,个全红 赢得,100,元,5,红,1,黄 赢得,50,元,4,红,2,黄 赢得,20,元,3,红,3,黄 输,100,元,2,红,4,黄 赢得,20,元,1,红,5,黄 赢得,50,元,6,个全黄 赢得,100,元,其中只有一种情况输，而对于其它六种情况,你均能赢得相应的钱数，而不用花其它的钱。,摸奖人赢钱的期望有多大？,设,为赢得的钱数,则,的分布列如下,:,所以每摸一次，平均输掉,29.34,元,解,:,100,50,20,-100,p,