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,第三章 随机向量,有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。,3.,导弹在空中位置,坐标,(,X,Y,Z,),。,1.,某人体检数据,血压,X,和心律,Y,；,例如：,2.,钢的基本指标,含碳量,X,，含硫量,Y,和,硬度,Z,；,一般地,将随机试验涉及到的,n,个随机量,X,1,X,2, ,X,n,放在一起，,记成,(,X,1,X,2,X,n,),，称,n,维随机向量,(,或变量,),。,由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。,3.1,二维随机向量及其分布函数,设试验,E,的样本空间为,，,X,=,X,(,),与,Y,=,Y,(,),是,定义在,上的两个随机变量,由它们构成的向量,(,X,Y,),称为,二维随机向量。,二维随机向量,(,X,Y,),的性质不仅与,X,和,Y,的性质有关，而且还依赖于,X,和,Y,之间的相互关系。因此，必须把,(,X,Y,),作为一个整体来看待，加以研究。,为此，首先引入二维随机向量,(,X,Y,),的分布函数的概念。,定义二维随机向量,(,X,Y,),的联合分布函数为,取定,x,0,y,0,R,=(-,),F,(,x,0,y,0,),就是点,(,X,Y,),落在平面上，以,(,x,0,y,0,),为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。,如果将,(X, Y),看成平面上随机点的坐标。,由上面的几何解释，,易见,:,随机点,(,X,Y,),落在矩形区域,:,x,1,x,x,2,y,1,y,y,2,内的概率为,P,x,1,X,x,2,y,1,Y,y,2,=,F,(,x,2,y,2,),-,F,(,x,2,y,1,),-,F,(,x,1,y,2,)+,F,(,x,1,y,1,).,说明,二维分布函数,F,(,x,y,),的三条基本性质,(1),.,F(,x,y,),是变量,x,y,的非减函数；,即,y,R,给定，当,x,1,x,2,时，,F,(,x,1,y,),F,(,x,2,y,).,同样,x,R,给定，当,y,1,y,2,时,F,(,x,y,1,),F,(,x,y,2,).,(2),.,x,y,R,有,0,F,(,x,y,)1,；,(3).,y,R, F(,-,y,)=0,，,x,R, F(,x,-,)=0,，,F,(,-,-,)=0,，,F(, )=1.,其中,3.2,二维离散型随机向量,如果随机向量,(,X,Y,),的每个分量都是离散型随机变量，则称,(,X,Y,),是,二维离散型随机向量。,二维离散型随机向量,(,X,Y,),所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。,离散型随机变量,X,的概率分布,:,离散型随机向量,(,X,Y,),的联合概,率分布,:,联合概率分布也可以用表格表示。,表,3.2.1,二维离散型随机向量的联合概率分布与联合分布函数,设二维离散型随机向量,(,X,Y,),的联合概率分布为,p,ij,，,i=,1, 2,j=,1, 2,.,于是, (X,Y,),的联合分布函数为,例,1,：,设有,10,件产品，其中,7,件正品，,3,件次品。现从中任取两次，每次取一件，取后不放回。 令,:,X,=1,：若第一次取到的产品是次品，,X,=0,：若第一次取到的产品是正品，,Y,=1,：若第二次取到的产品是次品，,Y,=0,：若第二次取到的产品是正品。,求,:,二维随机向量,(,X,Y,),的概率分布。,解：,(,X,Y,),所有可能取的值是：,(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),。,P,X,=0,Y,=0=P,第一次取正品,第二次取正品,利用古典概型，得：,P,X,=0,Y,=0=(7,6)/(109)=7/15,。,同理，得,P,X,=0,Y,=1=(7,3)/(109)=7/30,P,X,=1,Y,=0=(3,7)/(109)=7/30,P,X,=1,Y,=1=(3,2)/(109)=1/15,。,例,2,：,为了进行吸烟与肺癌关系的研究，随机调查了,23000,个,40,岁以上的人，其结果列在下表之中。,X,=1,若被调查者不吸烟，,X,=0,若被调查者吸烟，,Y,=1,若被调查者未患肺癌，,Y,=0,若被调查者患肺癌。,从表中各种情况出现的次数，计算各种情况出现的频率，就产生了二维随机向量,(X,Y),的概率分布,:,P,X,=0,Y,=03/23000=0.00013,P,X,=1,Y,=01/23000=0.00004,P,X,=0,Y,=14597/23000=0.19987,P,X,=1,Y,=118399/23000=0.79996,。,练习：,把一枚均匀硬币抛掷三次，设,X,为三次抛掷中正面出现的次数，而,Y,为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求,(,X,Y),的概率分布,.,解,:,(,X,Y,),可取值,(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P,(,X,=0,Y,=3)=(1/2),3,=1/8,P,(,X,=1,Y,=1)=3(1/2),3,=3/8,P,(,X,=2,Y,=1)=3/8,P,(,X,=3,Y,=0)=1/8,列表如下,3.3.1,概率密度,设二维随机向量,(,X,Y,),的联合分布函数为,F,(,x,y,),，如果存在一个非负函数,f,(,x,y,),使得对任意实数,x,y,有,则称,(,X,Y,),为连续型随机向量,f,(,x,y,),为,(,X,Y,),的,概率密度函数,简称概率密度。,.,3.3,二维连续型随机向量,连续型随机变量,X,的概率密度,:,连续型随机向量,(,X,Y,),的联合概,率密度,:,对连续型随机向量,(,X,Y,),，联合概率密度与分布函数关系如下：,在,f,(,x,y,),的连续点；,解,:,(1).,由,例,1,：,设,(X,Y),的联合概率密度为,其中,A,是常数。,(1).,求常数,A,；,(2).,求,(,X,Y,),的分布函数；,(3).,计算,P,0,X,4, 0,Y,5,。,(3). P0X4, 0Y5,3.3.2,均匀分布,定义,:,设,D,是平面上的有界区域,其面积为,d,若二维随机向量,(,X,Y,),的联合概率密度为,:,则称,(,X,Y,),为服从,D,上的均匀分布。,(,X,Y,),落在,D,中某一区域,A,内,的概率,P(,X,Y,),A,与,A,的面积成正比，而与,A,的位置和形状无关。,P(,X,Y,),A,=,A,的面积,/,d,.,解,:,例,2,：,设,(,X,Y,),服从圆域,x,2,+,y,2,4,上的均匀分布，,计算,P(,X,Y,),A,，这里,A,是中阴影部分的区域。,圆域,x,2,+,y,2,4,面积,d,=4,；,区域,A,是,x,=0,y,=0,和,x,+,y,=1,三条直线所围成的三角区域，并且包含在圆域,x,2,+,y,2,4,之内，面积,=0.5,。,故，,P(,X,Y,),A,=0.5/4,=1/8,。,若二维随机向量,(,X,Y,),有联合概率密度,3.3.3,二维正态分布,正态分布,(,X,Y,),的概率密度函数,f(x,y,),满足,:,(1).,(2).,小结,本讲介绍了二维随机向量的基本概念，包,括联合分布函数及其性质，二维离散型随机向,量的联合概率分布及其性质，二维连续型随机,向量的概率密度及其性质；此外，还介绍二维,均匀分布和二维正态分布等。,作 业,P88,：,3.3,，,3.4,，,3.5,
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