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单击此处编辑母版文本样式,单击此处编辑母版标题样式,第,2,章 线性系统概论,1,第,2,章 线性系统概论,2.1,线性系统的基本概念,2.2,线性系统分析方法,2.3,复合系统的传递函数,第2章 线性系统概论2.1线性系统的基本概念,2.1,线性系统的基本概念,1.,系统及其分类,所谓系统，是指一组相互关联的事物构成的总体，如光学系统、通信系统、管理系统和指挥系统等。这样定义的系统可分为物理系统和非物理系统。这里仅讨论物理系统。一个物理系统是这样一种装置：当对其作用一个激励时，它就产生一个响应。其示意图如图,2.1-1,所示。,2.1线性系统的基本概念1.系统及其分类,图,2.1-1,物理系统示意框图,图 2.1-1物理系统示意框图,2.,线性系统的定义及其算符表示,假设一个激励,f,1,(,x,),作用于某系统产生的响应为,g,1,(,x,),，而激励,f,2,(,x,),产生的响应为,g,2,(,x,),，用符号表示为,f,1,(,x,),g,1,(,x,),f,2,(,x,),g,2,(,x,),(2.1-1),如果系统满足可加性,f,1,(,x,)+,f,2,(,x,),g,1,(,x,)+,g,2,(,x,),(2.1-2),2.线性系统的定义及其算符表示假设一个激励f1(,和齐次性,(,均匀性,),c,1,f,1,(,x,),c,1,g,1,(,x,),(2.1-3),式中：,c,1,为任意常数。这样的系统称为线性系统。综合式,(2.1-2),和式,(2.1-3),线性系统的定义可表示为,c,1,f,1,(,x,)+,c,2,f,2,(,x,),c,1,g,1,(,x,)+,c,2,g,2,(,x,),(2.1-4),和齐次性(均匀性),描述系统输入、输出之间关系的数学方程是把一个激励转换为系统的一个响应，这种转换也可以用一个算子表示为,g,(,x,)=L,f,(,x,),(2.1-5),对于线性系统，则有,c,1,g,1,(,x,)+,c,2,g,2,(,x,)=L,c,1,f,1,(,x,)+,c,2,f,2,(,x,),(2.1-6),描述系统输入、输出之间关系的数学方程是把一个激励转换为系,3.,线性不变系统,如果一个系统当输入函数的位置移动时，输出函数的形状不变，其输出函数位置仅产生相同的移动，则称该系统为位移不变系统，即若,L,f,(,x,),=,g,(,x,),则,L,f,(,x,x,0,),=,g,(,x,x,0,),(2.1-7),式中,:,x,0,为实常数。,3.线性不变系统如果一个系统当输入函数的位置移动,一个系统既是线性的，又是位移不变的，则称为线性位移不变系统，简称为线性不变系统。该系统用算符表示为,(2.1-8),式中,:,x,1,和,x,2,为实常数。,一个系统既是线性的，又是位移不变的，则称为线性位移不变系,2.2,线性系统分析方法,2.2.1,线性系统对基元函数的响应,1.,脉冲响应,当系统的输入是一个用,函数表示的脉冲时，其对应的输出称为系统的脉冲响应。如果线性系统对位于,x,=,x,0,处的输入脉冲,(,x,x,0,),的响应用,h,(,x,；,x,0,),表示，即,(2.2-1),那么，在原点处的脉冲输入,(,x,),，其输出为,(2.2-2),2.2线性系统分析方法2.2.1线性系统对基,一般来说，,h,(,x,；,x,0,),和,h,(,x,；,0),具有不同的函数形式。但对于线性不变系统，由于位移不变性，它对,x,=,x,0,处的输入脉冲,(,x,x,0,),的响应可以写成,(2.2-3),一般来说，h(x；x0)和h(x；0)具有不同的函数形式,可见，线性不变系统的脉冲响应仅由观察点,x,与输入作用点,x,0,间的间隔决定，而与单独,x,、,x,0,的位置无关。因此，线性不变系统的脉冲响应可以简化为,(2.2-4a),和,(2.2-4b),可见，线性不变系统的脉冲响应仅由观察点x与输入作用点x0,2.,复指数函数的响应,当线性不变系统的输入为复指数函数时，其输出为,(2.2-5),式中：,0,为一任意实参数。若输入为位移形式,(,其中,x,0,为实常数,),，则由线性性质可得,(2.2-6),2.复指数函数的响应当线性不变系统的输入为复指数,由位移不变性得,(2.2-7),因此有,(2.2-8),函数,g,(,x,x,0,;,0,),是,g,(,x,;,0,),的位移形式，它们一般是复函数。,由位移不变性得,把,g,(,x,;,0,),表示成复数形式,式中：,H,(,x,;,0,),和,(,x,;,0,),分别为,g,(,x,;,0,),的振幅和相位函数。并由此得到,把g(x;0)表示成复数形式式中：H(x;,应用式,(2.2-8),可得,(2.2-9),即,(2.2-10),应用式(2.2-8)可得,因此，输出,g,(,x,;,0,),应具有的形式为,(2.2-11),即对线性不变系统有,(2.2-12),因此，输出g(x;0)应具有的形式为,一般来说，如果一个线性不变系统的特征函数为,(,x,;,0,),，当系统的输入也是,(,x,;,0,),时，对应的输出为,(2.2-13),一般来说，如果一个线性不变系统的特征函数为(x;,式中：,H,(,0,),为一复比例系数，它表示系统特征函数所对应的输出与该特征函数之比，与空间位置变量,x,无关，仅取决于参量,0,的大小。它可用复数形式表示为式中,:,A,(,0,),为复振幅，表示输出函数的衰减或增益；,(,0,),为相位，表示输出函数沿,x,轴位移量的大小。这样式,(2.2-13),可改写为,(2.2-14),式中：H(0)为一复比例系数，它表示系统特征函数所对应的,3.,余弦函数的响应,当线性不变系统的传递函数,H,(,),是厄米函数，即,H,(,)=,H,*,(,),时，系统对余弦函数的响应仍为余弦函数。设输入为,cos2,0,x,，则输出为,3.余弦函数的响应当线性不变系统的传递函数H(,(2.2-15),2.2.2,线性系统的空间域和频率域分析方法,1.,空间域分析法,空间域分析法的要点是用一个空间变量的函数，即脉冲响应函数,h,(,x,),来表征系统的特性。对任一复杂的输入函数,f,(,x,),，用脉冲分割法将其分解为基元函数的线性组合，这些基元可用,函数表示。各基元响应的同样的线性组合就是,f,(,x,),的响应,g,(,x,),。对于一个实际的线性系统，脉冲响应函数,h,(,x,),应满足,(2.2-16),这一条件要求系统当输入函数有界时，输出函数必须有界。,2.2.2线性系统的空间域和频率域分析方法1.空间,设一个复杂的输入函数,f,(,x,),可以近似表示为如图,2.2-1,所示的,n,个窄脉冲之和。我们考察第,i,个窄脉冲，该脉冲坐标为,x,i,，宽度为,x,i,，高度为,f,(,x,i,),，该脉冲的面积为,f,(,x,i,),x,i,。当,x,i,0,时，,f,i,(,x,),就是强度等于脉冲面积的,函数，而该,函数位于,x,=,x,i,处，即,(2.2-17),设一个复杂的输入函数f(x)可以近似表示为如图2.2-1,图,2.2-1,函数的脉冲分割,图 2.2-1函数的脉冲分割,这样，输入函数就可以分解为,函数的线性组合,(2.2-18),当式,(2.2-17),所示的输入作用于系统时，由线性系统的齐次性可知其输出,g,i,(,x,),为脉冲响应的,f,(,x,i,),x,i,倍，即,(2.2-19),若系统为线性不变系统，则,(2.2-20),这样，输入函数就可以分解为函数的线性组合,由叠加原理，,f,(,x,),对应的输出,g,(,x,),分别为,(2.2-21),由叠加原理，f(x)对应的输出g(x)分别为,令窄脉冲宽度,x,i,0,，脉冲数,n,，应用,h,(,x,),满足的条件，上面式,(2.2-21),的极限变为下列积分,:,(2.2-22),令窄脉冲宽度xi0，脉冲数n，应用h(x)满足的,以上讨论表明：对于线性系统，任何复杂激励的响应都是输入函数与脉冲响应函数乘积的积分；对于线性不变系统，任何复杂激励的响应都是输入函数与脉冲响应函数的卷积，即,g,(,x,)=,f,(,x,)*,h,(,x,),(2.2-23),以上讨论表明：对于线性系统，任何复杂激励的响应都是输入,2.,频率域分析法,1),输入为简单的简谐函数一个单一频率的无限波列可表示为,(2.2-24),式中,:,F,(,),为复振幅。系统对该输入所产生的输出为同频率的简谐波，即,(2.2-25),2.频率域分析法1)输入为简单的简谐函数,式中,:,G,(,),为输出简谐波的复振幅，且,(2.2-26),或,(2.2-27),式中:G()为输出简谐波的复振幅，且,2),输入为周期函数设输入的周期函数,f,(,x,),满足狄里赫利条件，则可展开为傅里叶级数,(2.2-28),式中,:,为函数,f,(,x,),的基频。对输入的,n,次谐波分量,f,n,(,x,)=,c,n,e,i2,nx,，对应的输出为,(2.2-29),2)输入为周期函数设输入的周期函数f(x)满足狄,则总输出为所有输出分量的叠加，即,(2.2-30),显然，对不同的谐波频率,n,，,H,(,n,),有不同的值，它反映了线性不变系统对不同频率谐波的响应特性，所以，也把传递函数称为频率响应。,则总输出为所有输出分量的叠加，即,3),输入为非周期函数如果输入的非周期函数,f,(,x,),的傅里叶变换,F,(,),存在，则,f,(,x,),可表示为,(2.2-31),即分解为频率,连续变化的谐波分量之和，相应于频率为,的谐波振幅为,F,(,)d,。对应输入,f,(,x,),的输出为,(2.2-32),3)输入为非周期函数如果输入的非周期函数f(x),式中,:,G,(,),是输出函数,g,(,x,),的频谱,(,傅里叶变换,),，且,(2.2-33),或,(2.2-34),式中:G()是输出函数g(x)的频谱(傅里叶变换)，且,3.,线性不变系统传递函数与脉冲响应的关系,对于线性不变系统，由空间域分析的结果有：当输入为,函数时，输出就是脉冲响应,h,(,x,),；其输入函数的频谱为,(2.2-35),由频率域分析可知，输出函数的频谱为,(2.2-36),3.线性不变系统传递函数与脉冲响应的关系对于线性,对式,(2.2-36),进行傅里叶逆变换，得到输出函数,(2.2-37),可见，对于线性不变系统，脉冲响应,h,(,x,),与传递函数,H,(,),构成了一个傅里叶变换对。,对式(2.2-36)进行傅里叶逆变换，得到输出函数,2.3,复合系统的传递函数,1.,串联系统,设有两个线性不变系统,1,和,2,，其脉冲响应分别为,h,1,(,x,),和,h,2,(,x,),，传递函数分别为,H,1,(,),和,H,2,(,),，构成图,2.3-1,所示的串联系统。,2.3复合系统的传递函数1.串联系统,图,2.3-1,串联复合系统示意图,图 2.3-1串联复合系统示意图,串联系统的特点是第一个系统的输出就是第二个系统的输入，第二个系统的输出则是复合系统的输出。因此，由空间域分析方法可知，第一个系统的输出为第二个系统的输出为,(2.3-1),串联系统的特点是第一个系统的输出就是第二个系统的输入，第,对式,(2.3-1),进行傅里叶变换，应用卷积定理得到串联系统输出的频谱为,(2.3-2),因此，串联系统的传递函数等于两个独立系统传递函数的乘积。相应的调制传递函数和相位传递函数分别为,对式(2.3-1)进行傅里叶变换，应用卷积定理得到串联系统输,以上结论推广到,n,个线性不变系统组成的串联系统，其传递函数、调制传递函数和相位传递函数分别为,(2.3-3),以上结论推广到n个线性不变系统组成的串联系统，其传递函数,2.,并联系统,图,2.3-2,所示为两个独立的线性不变系统的并联系统，两独立系统的传递函数分别为,2.并联系统图2.3-2所示为两个独立的线性不
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