数学建模——减肥计划(修改版)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模减肥计划,数学三班,许小红 单厚荣 张茜佳 仙洋 冶青兰 罗静,1,问题描述,：,在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目的，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家意见是，只有通过控制饮食和运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。,2,问题分析,：,1 通常，人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。,2 做适当的假设就可以得到体重变化的关系。,3 减肥应不伤身体，这可以用吸收热量不要过少，减少体重不要过快来表达,3,模型假设：,体重增加正比于吸收的热量，平均每,8000kcal,增加,1kg,（,1kcal=4.2kj,）；,正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在,200kcal320kcal,，且因人而异；,运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；,为了安全与健康，每周体重减少不宜超过,1.5kg,每周吸收热量不少于,10000kcal,4,建立模型：,某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。,5,减肥,计划：,在节食加运动的情况下，分为三阶段,第一阶段：每周减肥1Kg,每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全下限（10000Kcal）,第二阶段：每周吸收热量保持下限，持续运动，体重减至75Kg，减肥成功,第三阶段：保持减肥成果,6,基本模型：,K:表示第几周；,(k):表示第k周的体重；,C(k):表示第k周吸收的热量；,:表示热量转换系数=1/8000(kg/kcal);,:表示代谢消耗系数（因人而异）,7,体重变化基本方程,其中,=,+,1,1,为,增加运动时的代谢消耗系数，由运动的形式和时间决定,.,8,模型求解：,先确定甲不运动时的代谢消耗系数。,根据已知条件c=20000kcal,=1/8000,=100kg不变，由基本模型得,=+c-推出 =0.025,这相当于每周每公斤体重消耗热量20000/100=200kcal。从假设2知，甲的代谢消耗很弱，所以吃得多必将导致他变胖,9,再确定甲运动后的代谢消耗系数,1,经调查一下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量：,跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速)游泳(50米/分),7.0 3.0 4.4 2.5 7.9,记表中热量消耗,，每周运动时间t，利用增加运动后的基本模型，其中=+,1，,1,=,t,即,(k+1)=(k)+c(k+1)-(+t)(k),试取,1=,t=0.003，即 t=24,则=0.028,10,第一阶段：,要求每周体重减少b=1kg,吸收热量减至下限c,min,=10000kcal,即,(k)-(k+1)=1,(0)-(k)=bk,(k+1)=(k)+c(k+1)-,(k),11,根据,b,c,min,已知，取,1=0.03 =0.028，有,C(k+1)=14400-224k c,min,=10000 得,k 19.6,即第一阶段共19周，按照C(k+1)=14400-224k吸收热量，可使体重每周减1kg，至第19周末可减至81kg,12,第二阶段：要求每周吸收热量保持下限c,min,，由基本模型得,(k+1)=(k)+c,min,-,(k),=（1-）(k)+c,min,要得到减至75kg所需周数，可将上式递推得,已知,(k)=81,c,min,，求,(k+n)=75，由上式得：,13,75=0.972,n,(90-45)+45,解得n=7,即每周吸收热量保持在下限，再过7周就可减至75kg,14,第三阶段：,若要维持75kg的体重，最简单的方案是找出每周吸收热量保持某常数c,使,(k)不变。,由上式,(k+1)=(k)+c(k+1)-(+t)(k),=+c-(+t),C=(+t)/,若不运动,1=,t=0，得c=15000kcal；,若运动，则c=16800kcal,15,减肥建议,节食加运动能有效减肥，节食时间周期长，在第一阶段就运动减肥会更快达到预期目标。,通过改变，缩短减肥的时间，改变运动的方式和时间是不错的减肥方式。,16,