一、曲线的参数方程课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、曲线的参数方程,在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)0。下面我们就来研究求曲线参数方程的问题。,1、参数方程的概念,1、参数方程的概念,探究：,一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？,A,M(x,y),x,y,o,飞机在A点将物资投出机舱，在经过飞行航线（直线）且垂直,与地面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这,个平面的郊交线，y轴经过A点。,记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资的位置为点M（x,y）,则x表示物资的水平位置，y表示物资距地面的高度。由于水平位移,量x与高度y是由两种不同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足,的关系式并不容易。,换个角度看这个问题。,由物理知识，物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动；,（2）沿oy反方向作自由落体运动。,一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。,二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。,三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的,参数方程,，联系变数x,y的变数t叫做,参变数,，简称,参数,，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做,普通方程,。,请用自己的语言来比较一下参数方程与普通方程的异同点,2、圆的参数方程,x,o,y,M(x,y),圆周运动是生产生活中常见的。当物体绕定轴做匀速转动时，物体中各个点都做匀速圆周运动，那么怎样刻画运动中点的位置呢？,设圆O的半径为r，点M从初始位置 出发，按逆时针方向在圆O上做匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为。以圆心O为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系。显然，点M的位置由时刻t 惟一确定，因此可取t为参数。,r,圆的参数方程的一般形式,由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。,练习,1,已知圆方程x,2,+y,2,+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。,解：,x,2,+y,2,+2x-6y+9=0化为标准方程，,（x+1）,2,+（y-3）,2,=1，,参数方程为,(为参数),例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。,y,o,x,P,M,Q(6,0),o,x,P,M,Q(6,0),分析,：取 为 参数，则圆O的参数方程是,（为参数），当,变化是，动点,P在定圆O上运动，线段PQ也随之变动，从而使点M远动，因此点M的运动可以看成是由角,决定的。于是，选 为参数是适合的,。,思考,：这里定点Q在圆O上外，你能判断这个轨迹表示什么曲线呢？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在圆O内，轨迹又是什么？,练习,（2，1）,3、参数方程和普通方程,的互化,将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如 ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系,那么 就是曲线的参数方程。,参数方程和普通方程的互化：,（1）普通方程化为参数方程需要引入参数,如：直线,L,的普通方程是,2x-y+2=0,，,可以化为参数方程,（,t,为参数）,在普通方程,xy,=1,中，令,x,=tan,可以化为参数方程,（,为参数）,（2）参数方程通过,代入消元,或,加减消元,消去参数,化为普通方程,如：参数方程,消去参数,可得,圆的普通方程,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,.,参数方程,（t为参数）,可得普通方程：,y=2x-4,通过代入消元法消去参数t,（x0）,注意：,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x，y,的取值范围保持一致。,否则，互化就是不等价的.,例3、,把下列参数方程化为普通方程，,并说明它们各表示什么曲线？,（2）把 平方后减去,得到,因为,所以,因此，与参数方程等价的普通方程是,这是抛物线的一部分。,所以,代入,练习、1.,将下列参数方程化为普通方程：,(1),(2),(3),x=t+1/t,y=t,2,+1/t,2,（1）（x-2）,2,+y,2,=9,（2）y=1-2x,2,（-1x1）,（3）x,2,-y=2（X2或x-2）,步骤：,（1）消参；,（2）求定义域。,2.求参数方程,表示,（）,（A）双曲线的一支，这支过点（1，,）：,（B）抛物线的一部分，这部分过（,1，,）；,（C）双曲线的一支，这支过点（1，,）；,（D）抛物线的一部分，这部分过（1，,）,分析,一般思路是：化参数方程为普通方程,求出范围、判断。,解,x,2,=,=1+sin,=2y，,普通方程是x,2,=2y，为抛物线。,，又0,2,，,0 x,，故应选（B）,说明,这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法,是最好的方法。,例4,解,（1）把,带入椭圆方程，得到,于是,由参数 的任意性，可取,因此椭圆的参数方程为 （为参数）,思考,：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,因此椭圆的参数方程为,（t为参数）,和,（2）把,代入椭圆方程，得,x,y,范围与,y=x,2,中,x,y,的范围相同，,代入y=x,2,后满足该方程，从而D是曲线y=x,2,的一种参数方程.,曲线y=x,2,的一种参数方程是（）.,注意：,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x，y,的取值,范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,在y=x,2,中，xR,y0，,分析:,发生了变化，因而与,y=x,2,不等价；,在A、B、C中，,x,y,的范围都,而在中，,且以,练习:,普通方程,参数方程,引入参数,消去参数,小结,