复变函数ppt课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三节 初等多值函数,1、根式函数,2、对数函数,4、多个有限支点情形,5、反三角函数与反双曲函数,第二章,下页,返回,上页,3、一般幂函数与指数函数,第三节 初等多值函数1、根式函数 2、对数函,1,复习指数函数的定义和性质,下页,返回,上页,复习指数函数的定义和性质下页返回上页,2,2 对数函数：,和实变量一样，复变量的对数函数也定义为指数函数的反函数：,注：由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为,2,i,的周期函数，所以对数函数必然是多值函数，事实上，有：,下页,返回,上页,2 对数函数：和实变量一样，复变量的对数函数也,3,下页,返回,上页,下页返回上页,4,对数函数的主值：,相应于幅角函数的主值，我们定义对数函数Ln,z,的主值ln,z,为（注意写法）：,则这时，有,下页,返回,上页,对数函数的主值：相应于幅角函数的主值，我们定义对,5,三种对数函数的联系与区别：,函数,单或多值,定义域,值域,注,ln,x,Ln,z,ln,z,单,多,R+,单,C,0,z,正实数时为ln,x,一个单值分支,为ln,z,R,条状带域,C,C,0,下页,返回,上页,三种对数函数的联系与区别：函数单或多值定义域值域注lnxLn,6,例1,解,注意,:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广：正实数的复对数多值；负实数无实对数.,下页,返回,上页,例1 解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数,7,例2,下页,返回,上页,例2 下页返回上页,8,例3,下页,返回,上页,例3 下页返回上页,9,例4,解,下页,返回,上页,例4解下页返回上页,10,对数函数的基本性质,下页,返回,上页,对数函数的基本性质下页返回上页,11,对数函数的解析性质,下页,返回,上页,对数函数的解析性质下页返回上页,12,v,u,w-平面,y,z-平面,x,对数函数的几何形态,下页,返回,上页,vuw-平面yz-平面x对数函数的几何形态下页返回上页,13,对数函数的单值化：,相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化,：,考虑复平面除去负实轴（包括,0,）而得的区域,D,。显然，在,D,内，,对数函数可以分解为无穷多个单值连续分支。,下页,返回,上页,对数函数的单值化：相应与幅角函数的单值化，我们也可以,14,沿负实轴的割线的取值情况：,上沿,下沿,下页,返回,上页,沿负实轴的割线的取值情况：上沿下沿下页返回上页,15,一般区域：,下页,返回,上页,一般区域：下页返回上页,16,对数函数的单值化：,由于对数函数的每个单值连续分支都是解析的，所以我们也将它的连续分支称为解析分支。我们也称对数函数是一个无穷多值解析函数。,原点和无穷远点是对数函数的支点（原点支点,无穷阶支点）；特点：,1、当,z,绕它们连续变化一周时，Ln,z,连续变化到其它值；,2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值。,下页,返回,上页,对数函数的单值化：由于对数函数的每个单值连续分支都是,17,5 反三角函数和反双曲函数,反三角函数的定义,两端取对数得,下页,返回,上页,5 反三角函数和反双曲函数反三角函数的定义两端取对数得下页,18,同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:,反双曲函数的定义,下页,返回,上页,同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以,19,例5,解,下页,返回,上页,例5解下页返回上页,20,练习,错在:,下页,返回,上页,练习错在:下页返回上页,21,参考答案,参考答案,22,复变函数ppt课件,23,三、,小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:,1.分成单值解析分支的方法,2.负数无对数的结论不再成立,下页,返回,上页,三、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等,24,