协方差及相关系数课件

课件制作：应用数学系,概率统计课程组,概率论与数理统计,课件制作：应用数学系概率论与数理统计,4.4 协方差及相关系数,4.4.1 协方差及相关系数的定义,4.4.1 协方差及相关系数的性质,4.4 协方差及相关系数4.4.1 协方差及相关系,问题,对于二维随机变量(,X,Y,):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量，除了每个,随机变量各自的概率特性以外，相互之间,可能还有某种联系.问题是用一个什么样,的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量,X,Y,之间的某种关系,问题 对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布,定义 称,为,X,Y,的协方差.记为,称,为（,X,Y,）的协方差矩阵,4.4.1 协方差及相关系数的定义,定义 称为X,Y 的协方差.记为称为（X,Y,若,D,(,X,)0,D,(,Y,)0,称,为,X,Y,的 相关系数，记为,若,称,X,Y,不相关,.,若D(X)0,D(Y)0,称为X,4.4.2 协方差及相关系数的性质,4.4.2 协方差及相关系数的性质,注:,注:,注:,显然,相关,不相关,正相关,负相关,注:显然相关不相关正相关负相关,协方差的性质,当,D,(,X,)0,D,(,Y,)0 时，当且仅当,时，等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,协方差和相关系数的性质回顾,协方差的性质 当D(X)0,D(Y),证 5 令,对任何实数,t,即,证 5 令对任何实数 t,即,等号成立,有两个相等的实零点,即,又显然,等号成立有两个相等的实零点即又显然,即,即,Y,与,X,有线性关系的概率等于1，这种线性,关系为,即即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性,完全类似地可以证明,当,E,(,X,2,)0,E,(,Y,2,)0 时，当且仅当,时，等式成立,完全类似地可以证明当E(X 2)0,E(Y 2),利用函数的期望或方差计算协方差,若(,X,Y,)为离散型，,若(,X,Y,)为连续型,，,协方差和相关系数的计算,若(X,Y)为离散型，若(X,Y)为,1 0,p q,X,P,1 0,p q,Y,P,求 Cov(,X,Y,),XY,已知,X,Y,的联合分布为,X,Y,1 0,1,0,p,0,0,q,0,p,1,p+q=,1,解:,1 0,p q,X Y,P,例4.4.1,1 0 p qX P 1 0,协方差及相关系数课件,例4.4.2,解:,例4.4.2解:,协方差及相关系数课件,例4.4.3,解:,例4.4.3解:,协方差及相关系数课件,协方差及相关系数课件,协方差及相关系数课件,X,Y,不相关,X,Y,相互独立,X,Y,不相关,若,X,Y,服从二维正态分布，,X,Y,相互独立,X,Y,不相关,X,Y 不相关X,Y 相互独立X,Y 不相关若,X,和,Y,独立时，,=0，但其逆不真.,由于当,X,和,Y,独立时,，Cov(,X,Y,)=0.,故,=0,但由,并不一定能推出,X,和,Y,独立.,请看下例,.,X和Y独立时，=0，但其逆不真.由于当X和Y独立,例4.4.4,设,X,服从,(-1/2,1/2),内的均匀分布,而,Y,=cos,X,（,请课下自行验证,）,因而,=0，,即,X,和,Y,不相关,.,但,Y,与,X,有严格的函数关系,，,即,X,和,Y,不独立,.,不难求得,，,Cov(,X,Y,)=0，,例4.4.4 设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,课堂练习,课堂练习,