概率论与数理统计第讲

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,此幻灯片可在网址上下载,第,1,讲,概率论与数理统计讲义,第一章 随机事件的概率,自然现象和社会现象各种各样.有一类现象,称之为,确定性现象,其特点是在一定的条件下必然发生.另一类现象称之为,不确定现象,其特点是在一定条件下可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,且在试验和观察之前,不能预知确切的结果.不确定现象又可分为两类:一类是,个别现象,它是指原则上不能在相同条件下重复试验或观察的不确定现象.一类是,随机现象,它是指可以进行大量重复试验或观察,且结果呈现出某种规律性的不确定现象.,表1-1 历史上一些科学家在抛掷硬币试验中得到的相关数据:,试验者,n,n,H,f,n,(,H,)=,n,H,/,n,德摩根,2048,1061,0.5181,蒲丰,4040,2048,0.5069,K.皮尔逊,12000,6019,0.5016,K.皮尔逊,24000,12012,0.5005,罗曼诺夫斯基,80640,39699,0.4923,第一节,随机事件,一,随机试验与样本空间,在研究自然现象和社会现象时,常常需要做各种试验.在这里,把各种科学试验以及对某一事物的某一特征的观察都认为是一种试验.,一些试验的例子:,E,1,:抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况;,E,2,:将一枚硬币连抛两次,观察正面H,反面T出现的情况;,E,3,:将一枚硬币连抛两次,观察正面H出现的次数;,E,4,:在某一批产品中任选一件,检验其是否合格;,E,5,:记录某大超市一天内进入的顾客人数;,E,6,:在一大批电视机中任意抽取一台,测试其寿命;,E,7,:观察某地明天的天气是雨天还是非雨天.,以上的试验都具有特点:,(1),试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,(2),进行试验之前不能确定哪一个结果会出现.一般地,把具有上述两个特点的试验称为随机试验,或简称试验,用英文大写字母,E,表示.再仔细分析一下,发现试验,E,1,E,6,还具有如下的特点:,(3),可以在相同的条件下重复进行.但试验,E,7,不具有特点(3),将之称为不可重复的随机试验,而同时满足上述三个条件的称之为可重复的试验试验.,对于任一个随机试验,E,由于它必须满足条件(1),因此,试验的所有可能结果组成的集合是已知的.将随机试验,E,的,所有可能结果组成的集合,称之为,E,的,样本空间,记为,W,.,W,中的元素,即,E,的每个结果,称为,样本点,.样本点一般用,w,表示,于是可记,W,=,w,.,各个试验的样本空间:,E,1,:抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况;,W,1,=H,T;,E,2,:将一枚硬币连抛两次,观察正面H,反面T出现的情况;,W,2,=HH,HT,TH,TT;,E,3,:将一枚硬币连抛两次,观察正面H出现的次数;,W,3,=0,1,2,E,4,:在某一批产品中任选一件,检验其是否合格;,W,4,=合格,不合格,E,5,:记录某大超市一天内进入的顾客人数;,W,5,=0,1,2,3,4,;,E,6,:在一大批电视机中任意抽取一台,测试其寿命;,W,6,=,t,|,t,0;,E,7,:观察某地明天的天气是雨天还是非雨天.,W,7,=雨天,非雨天;,二,随机事件,进行随机试验时,人们常关心的往往是满足某种条件的样本点所组成的集合.例如,若规定电视机的寿命超过10000小时时为合格品,则在试验,E,6,(,在一大批电视机中任意抽取一台,测试其寿命;,W,6,=,t,|,t,0,)中我们关心的是电视机的寿命是否大于10000小时,满足这一条件的样本点组成的,W,6,的一个子集,A,=,t,|,t,10000.称,A,为试验,E,6,的一个随机事件.,一般地(不严格地说),称试验,E,的样本空间,W,的子集为,E,的,随机事件,简称,事件,.事件是概率论中最基本的概念,今后用英文大写字母,A,B,表示事件.设,A,是一个事件,当且仅当试验中出现的样本点,w,A,时,称事件,A,在该次试验中发生,.,例如,在,E,6,(,在一大批电视机中任意抽取一台,测试其寿命;,W,6,=,t,|,t,0,)中,若测试出电视机的寿命,t,=11000小时,则事件电视机为合格品=,A,=,t,|,t,10000在该次试验中发生;同样,若测试出电视机的寿命,t,=6000小时,则在该次试验中事件,A,没有发生.显然,要判定一个事件是否在一次试验中发生,只有当该次试验有了结果以后才能知道.,由一个样本点组成的单点集称为,基本事件,.例如,试验,E,1,(,抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况;,W,1,=H,T;,)有两个基本事件H和T,试验,E,3,(,将一枚硬币连抛两次,观察正面H出现的次数;,W,3,=0,1,2,)有三个基本事件0,1,2.,样本空间,W,有两个特殊子集,一个是,W,本身,由于它包含了试验的所有可能的结果,所以在每次试验中它总是发生,称为,必然事件,;另一个子集是空集,它不包含任何样本点,因此在每次试验中都不发生,称之为,不可能事件,.,三,事件间的关系与运算,在一个样本空间中,可以有许多随机事件,我们希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件.为此,需要研究事件间的关系与运算.事件是一个集合,因此事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定.设试验E的样本空间为,W,而,A,B,C,A,k,(,k,=1,2,3,)是,W,的子集.注意到在某次试验中事件,A,发生,该次试验的结果,w,A,由此出发,可以讨论事件间的关系与运算.,W,(1)若,A,B,则称事件,B,包含,事件,A,或称事件,A,是事件,B,的,子事件,其含义是,事件,A,发生必然导致事件,B,发生,.若,A,B,且,B,A,即,A,=,B,则称事件,A,与事件,B,相等,.,A,B,例如,在,E,6,(,在一大批电视机中任意抽取一台,测试其寿命;,W,6,=,t,|,t,0,)中,记,A,=电视机寿命不超过8000小时,B,=电视机的寿命不超过10000小时,则,A,B,.,(2)事件,A,B,=,w,|,w,A,或,w,B,称为事件,A,与事件,B,的,和事件,显然事件,A,B,事件,A,发生或者事件,B,发生,事件,A,与,B,至少有一个发生,.,W,A,B,例如,在,E,2,(将一枚硬币连抛两次,观察正面H,反面T出现的情况;,W,2,=HH,HT,TH,TT)中,记,A,=两次都出现正面=HH,B,=两次都出现反面=TT,则,A,B,=两次出现同一面=HH,TT.,(3)事件,A,B,=,w,|,w,A,且,w,B,称为事件,A,与事件,B,的,积事件,.显然,事件,A,B,发生,事件,A,与事件,B,同时发生,.积事件,A,B,可简记为,AB,.,W,B,A,例如,某输油管长100km,事件,A,=前50km油管正常工作,事件,B,=后50km油管正常工作,那么,A,B,=整个输油管正常工作.,(4)事件,A,-,B,=,w,|,w,A,且,w,B,称为事件,A,与事件,B,的,差事件,它表示的是,事件,A,发生而事件,B,不发生,这一新的事件,因此,A,-,B,发生事件,A,发生而事件,B,不发生.,W,A,B,例如,在,E,2,(将一枚硬币连抛两次,观察正面H,反面T出现的情况;,W,2,=HH,HT,TH,TT)中,若记,A,=HH,TT,B,=(HH,HT,则,A,-,B,=TT.,(5)若,A,B,=,则事件,A,与事件,B,是,互不相容,的,或,互斥,的.显然,A,B,=,事件,A,和事件,B,不能同时发生,.,W,A,B,例如,对任一个随机试验,E,它的基本事件都是两两互不相容的.,W,A,事件之间的运算满足下述运算规律:(i)交换律:,A,B,=,B,A,A,B,=,B,A,;(ii)结合律:,A,(,B,C,)=(,A,B,),C,;(iii)分配律:,A,(,B,C,)=(,A,B,)(,A,C,),A,(,B,C,)=(,A,B,)(,A,C,);(iv)对偶律:,这些规律可以推广到任意多个事件上去.,例2,某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1,2,3组成,每个水源都足以供应城市的用水,设事件,A,i,=第,i,号管道正常工作(,i,=1,2,3),甲,乙,城市,1,2,3,A,i,=第,i,号管道正常工作(,i,=1,2,3),甲,乙,城市,1,2,3,于是,“城市能正常供水”这一事件可表示为(,A,1,A,2,),A,3,“城市断水”这一事件可表示为,作业:第7页开始习题1-1,第1,2,3题,