高数53换元法与分部积分法

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第,五,章,一、定积分的换元法,定理1.,设函数,单值函数,满足:,1),2)在,上,证:,所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,是,的原函数,因此有,则,则,说明:,1)当,即,区间换为,定理 1 仍成立.,2)必需注意,换元必换限,原函数中的变量不必代回.,3)换元公式也可反过来使用,即,或配元,凑微分不换限,例1.,计算,解:,令,则,原式=,且,例2.,计算,解:,令,则,原式=,且,例3.,证:,(,1)若,(2)若,偶倍奇零,例4.,设,f,(,x,),是连续的周期函数,周期为,T,证明：,解:,(1)记,并由此计算,则,即,(2),并由此计算,周期的周期函数,则有,二、定积分的分部积分法,定理2.,则,证:,例5.,计算,解:,原式=,例6.,证明,证:,令,n,为偶数,n,为奇数,则,令,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立.,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元,必,换限,凑微分,不,换限,边积边代限,思考与练习,1.,提示:,令,则,2.,设,解法1.,解法2.,对,已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示:,两边求导,得,得,3.,设,求,解:,(分部积分),作业,P253 1,(4),(10),(16),;,3;7,(9),(10),习题课,备用题,1.,证明,证：,是以,为,周期的函数.,是,以,为周期的周期函数.,证：,2.,右端,试证,分部积分积分,再次分部积分,=左端,