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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 层合板的弯曲、屈曲和振动问题,6-1,基本假定,6-2,层合板的弯曲、屈曲和振动问题的基本微分方程,6-4,各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲,6-5,各种特殊简支层合板的振动问题,6-3,各种特殊层合板在横向均布载荷作用下的弯曲,6-1,引言和基本假定,一,.,引言,本章的目的主要是论述层合板物理方程中所出现的三种耦合刚度：,拉伸和弯曲耦合刚度,B,ij,拉伸和剪切耦合刚度,A,16,A,26,弯曲与扭转耦合刚度,D,16,D,26,对层合板弯曲、屈曲和振动性能的影响,及其给基本微分方程带来的复杂性，特别是通过某些重要结果,来讨,论：,对称角铺设层合板的,D,16,D,26,的重要性；,反对称正交铺设和反对称角铺设层合板的,B,ij,的作用。,1,、直法线假定：（,Kirchhoff,克希霍夫）,层合板变形前垂直于中面的法线，在变形后，仍,垂直于中面，而且长度不变,3,、变形很小，认为是小挠度理论（弯曲问题）,认为是小应变理论（屈曲、振动问题）,4,、忽略体积力,2,、板很薄：,很小，忽略不计。,二,.,基本假定,一,、,弯曲问题的基本微分方程,：,1,、几何方程：,注意：下标“,0”,表示中面位移,6-2,层合板的弯曲、屈曲和振动问题,的基本微分方程,2,、物理方程：,今后为方便起见，将下标“,0”,去掉，位移全是中面位移,。,3,、平衡方程（没有体积力）,写成简写形式：,将几何方程代入物理方程，用中面位移表示平板内力。再把内力表达式代入平衡方程就得到层合板弯曲问题的基本微分方程（简写形式）,4.,边界条件：,每个基本微分方程组是四阶的，积分常数为四个，所以每个边界需给出四个边界条件。,通常分简支边和固支边，即使都是简支边或固支边，又由于中面位移或内力不同条件给出不同的边界条件,.,简支边：,S,位移边界条件,半位移半内力,内力边界条件,半内力半位移,S,1,S,2,S,3,S,4,n,t,固支边：,(C),法、切向都可动,法向独立，切向可动,法向可动，切向独立,法、切向独立位移,二、层合板的屈曲问题基本微分方程,几何、物理与弯曲问题相同,C,1,C,2,C,3,C,4,平衡方程：,其中,为已知外加平面内膜内力载荷值,变分符号,屈曲前平板保持平的，当外载荷达到某一临界值时，层合板产生微弯状态，即小变形范围。满足平衡方程。,像弯曲问题推导基本微分方程那样，将几何方程代入物理方程，再代入平衡方程，就可得以下方程：,前两个基本微分方程形式上与弯曲的基本微分方程中的前两个完全一样，只要在位移导数前面加一个变分符号就行了。,因为第三个平衡方程就不同。为此只有第三个基本微分方程形式上有一些不同，,边界条件,：,简支边,(S),固支边：,同上一样,S,1,S,2,S,3,S,4,三、振动问题基本微分方程,平衡方程,：,与,屈曲问题平衡方程,相比较，只有第三个平衡方程右端项不同，振动问题有一个惯性力项。这里不再重复，包括边界条件。,四,.,求解方法,1,、解析方法,满足边界条件下,三个微分方程联立求解：,在特定的边界条件下可采用分离变量法和双三角级数求解。（简化条件）正交异性,.,2,、近似能量法,Rayleigh-Ritz,法,Kalekin,法,3,、有限差分法 有限元法,一、特殊正交各向异性层合板,只需解一个挠度的微分方程,：,如同各向同性板的弯曲微分方程的求解，采用双级数法。令,:,可以满足上微分方程和简支边界条件,.,对于均布载荷,:,不必考虑面内边界有关,u,、,v,的条件,。,6-3,各种特殊层合板在横向均布载荷 作用下的弯曲,将,w,代入微分方程，并对比系数可得：,一旦,w,确定下来，则由几何方程可得应变 和 。由物理方程的应力应变关系可得应力,:,有正轴应力分量可以考虑强度问题。,二、对称角铺设层合板,由于,，仍然只需考虑一个微分方程,由于 ，微分方程中出现对,x,、,y,的奇次微分项。分离变量的双三角级数解无法满足微分方程，变量实际上不可分离。采用近似的能量法：,Rayleigh-Ritz,法,设一挠度函数 满足几何边界条件，自然边界（力）条件不一定满足。则层板的总势能可用挠度函数的微分（即曲率）表示为：,其中：,P w,项是外力功，其余项是板的应变能。位移函数,w,展开，待定系数,则根据最小总势能原理,，,w,满足平衡的条件是：,的存在增加了挠度，说明弯扭耦合刚度 降低了板的,抗弯刚度。,根据,m,、,n,取的项数，可得一联立方程组。解出 ，则,w,解出。当,m,=17,，,n,=17,（共,49,项）时，板中央的挠度为,:,如果忽略 的作用，,把板看作是特殊正交各向异性板，则,两者误差约,24%,。,设,:,一,.,对称角铺设层合板,微分方程为：,6-4,各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲,简支边界条件为：,D,16,D,26,的存在，无法得到封闭解，,变量不可分离，同样可以由,Rayleigh,Ritz,法求解：,设屈曲位移为,：,满足位移边界，不满足自然边界,.,代入总势能表达式和运用最小势能原理,：,由 为,w,满足平衡的条件。,在,和,时,(Boron/Epoxy),对三种,铺设所得解如图,。,（,1,）正交各向异性解,（,2,）,20,层 对称角铺设。同上,（,3,）,20,层为,，考察弯扭耦合影响载荷：,x,方向均匀压缩,N,x,可见弯扭耦合的影响与特殊正交各向异性解比较，弯扭耦合的影响降低了屈曲载荷（理论近似解与实际的比较是满意的，说明了近似解的可靠性）,。,20,80,60,40,0,实验点：,20,层,20,层,（,1,）,（,3,）,（,2,）,1,2,2,0,1,6,2,4,正交各向异性解,二,反对称正交铺设层合板,考察 的影响,由于 ，屈曲微分方程是联立的。,对于,S,2,简支边界条件,选取以下位移变分函数,设,:,并令其满足微分方程得：,需求最小值在,m,，,n,为整数时。,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,1,）（,2,）解出 表示代入（,3,）得存在非零解的条件是：,式中,对 的石墨,/,环氧反对称层板,的解如下图,.,b,a,B,11,=0,2,层数,4,6,0,2,0,2,5,0,5,1,0,1,5,0,5,1,0,1,5,2,0,2,5,3,0,3,5,板的长宽比,a/b,（,1,）层时：,B,11,0,。两层时，,B,11,最大。,a/b,1,时，,B,11,0,的 正则比,值比二层时高出,183,！比四层时高出,19,，比六层时高出,8,。说,明 随着反对称正交铺层数的增加，拉弯耦合影响迅速衰减，铺层数,N,2,时，耦合影响最大，最低。在铺层数,N6,或,8,时,，耦合影响可忽略不计。,
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