资源描述
-,*,-,4,.1.2.1,利用导数求函数极值,(,点,),1,.,结合函数的图像,正确理解函数极值的概念,了解可导函数有极值点的充分条件和必要条件,.,2,.,掌握利用导数判断可导函数极值的方法,能熟练地求出已知函数的极值,.,1,.,极值与极值点,(1),在包含,x,0,的一个区间,(,a,b,),内,函数,y=f,(,x,),在任何一点的函数值都小于或等于,x,0,点的函数值,称,点,x,0,为函数,y=f,(,x,),的,极大值点,其函数值,f,(,x,0,),为函数的,极大值,.,(2),在包含,x,0,的一个区间,(,a,b,),内,函数,y=f,(,x,),在任何一点的函数值都大于或等于,x,0,点的函数值,则,称,点,x,0,为函数,y=f,(,x,),的,极小值点,其函数值,f,(,x,0,),为函数的,极小值,.,(3),函数的,极大值,与,极小值,统称为函数的极值,极大值点,与,极小值点,统称为极值点,.,(4),极值是函数在一个适当区间内的,局部,性质,函数的某些极大值有时候比其他极大值小,甚至,可能比一些极小值还小,.,名师点拨,由定义知,极值是一个局部概念,极值只是某个函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数整个定义域内最大或最小,.,【做一做,1,】,函数,y=f,(,x,),的图像如图,则函数的极小值、极大值个数分别为,(,),A.2,1,B.2,2,C.3,1,D.3,2,解析,:,在某点附近函数值都不大于该点的函数值,称该点为函数,y=f,(,x,),的极大值点,;,在某点附近函数值都不小于该点的函数值,称该点为函数,y=f,(,x,),的极小值点,.,因此可得极小值、极大值的个数分别为,2,2,.,答案,:,B,2,.,极值点的确定方法,(1),如果函数,y=f,(,x,),在区间,(,a,x,0,),上是增加的,在区间,(,x,0,b,),上是减少的,则,x,0,是极大值点,f,(,x,0,),是极大值,.,(2),如果函数,y=f,(,x,),在区间,(,a,x,0,),上是减少的,在区间,(,x,0,b,),上是增加的,则,x,0,是极小值点,f,(,x,0,),是极小值,.,3,.,求函数,y=f,(,x,),的极值点的步骤,一般情况下,求函数,y=f,(,x,),的极值点的步骤如下,:,(1),求出导数,f,(,x,),;,(2),解方程,f,(,x,),=,0,;,(3),对于方程,f,(,x,),=,0,的每一个解,x,0,分析,f,(,x,),在,x,0,左、右两侧的,符号,(,即,f,(,x,),的单调性,),确定极值点,:,若,f,(,x,),在,x,0,两侧的符号,“,左正右负,”,则,x,0,为,极大值点,;,若,f,(,x,),在,x,0,两侧的符号,“,左负右正,”,则,x,0,为,极小值点,;,若,f,(,x,),在,x,0,两侧的符号相同,则,x,0,不是,极值点,.,名师点拨,1,.,求函数极值时应先求其定义域,.,2,.,函数的极值点一定是导数值为零的点,反之,导数值为零的点不一定是该函数的极值点,还得判断该函数的导函数,f,(,x,),在该点左、右两侧的符号,.,【做一做,2,-,1,】,函数,f,(,x,),=ax,3,+bx,在,x=,1,处有极值,-,2,则,a,b,的值分别为,(,),A.1,-,3B.1,3C.,-,1,3D.,-,1,-,3,解析,:,f,(,x,),=,3,ax,2,+b,f,(1),=,3,a+b=,0,.,又,x=,1,时有极值,-,2,f,(1),=a+b=-,2,.,由,联立,解得,a=,1,b=-,3,.,答案,:,A,【做一做,2,-,2,】,函数,f,(,x,),的定义域为开区间,(,a,b,),导函数,f,(,x,),在,(,a,b,),内的图像如图,则函数,f,(,x,),在开区间,(,a,b,),内的极小值点有,(,),A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,答案,:,A,【做一做,2,-,3,】,函数,f,(,x,),=x,3,-,6,x+a,的极大值为,极小值为,.,题型一,题型二,题型三,利用导数求函数的极值点,题型一,题型二,题型三,答案,:,D,题型一,题型二,题型三,利用导数求函数的极值,分析,:,先求,f,(,x,),=,0,时,x,的值,然后列表,根据极值的定义判断在这些点处的极值情况,.,题型一,题型二,题型三,反思,在解题过程中,要全面系统地考虑问题,注意各种条件的综合运用,方可正确解题,.,解答本题时应注意,f,(,x,0,),=,0,只是函数,f,(,x,),在,x,0,处有极值的必要条件,只有再加上,x,0,两侧的导数的符号相反,方能断定函数在,x,0,处取得极值,.,在解题时,错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的错误,.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,易错辨析,易错点,对极值点的概念把握不清而致误,错因分析,:,函数的极值点的判断出现错误,导函数,f,(,x,),=,0,对应的点不一定是极值点,.,正解,:,y=x,2,当,x,0,函数在,(,-,0),上是增加的,当,x,0,y,0,函数在,(0,+,),上也是增加的,.,x=,0,的两侧函数都是递增的,函数,f,(,x,),没有极值点,.,1,2,3,4,5,6,1.,函数,y=,2,-x,2,-x,3,的极值情况是,(,),A.,有极大值,没有极小值,B.,有极小值,没有极大值,C.,既无极大值也无极小值,D.,既有极大值也有极小值,答案,:,D,1,2,3,4,5,6,2.,若函数,f,(,x,),的定义域为,R,导函数,f,(,x,),的图像如图,则函数,f,(,x,)(,),A.,无极大值点,有四个极小值点,B.,有三个极大值点,两个极小值点,C.,有两个极大值点,两个极小值点,D.,有四个极大值点,无极小值点,答案,:,C,1,2,3,4,5,6,3.,函数,的极小值是,(,),A.1B.2,C.5D.,不存在,解析,:,f,(,x,),=,令,f,(,x,),=,0,解得,x=,1,当,x,(0,1),时函数是减少的,当,x,(1,+,),时函数是增加的,因此,x=,1,是函数的极小值点,极小值为,f,(1),=,5,.,答案,:,C,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,5.,函数,f,(,x,),=x,3,-,3,x,2,+,1,在,x=,处取得极小值,.,解析,:,由,f,(,x,),=,3,x,2,-,6,x=,0,解得,x=,0,或,x=,2,.,当,x,变化时,f,(,x,),f,(,x,),的变化情况如下表,:,所以当,x=,2,时,f,(,x,),取得极小值,.,答案,:,2,1,2,3,4,5,6,
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