第6讲离散型随机变量概率统计

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,6,讲离散型随机变量概率统计,第二章 随机变量及其分布,在这一章我们将利用函数的观点对概率进行定量的研究，并导出一些常用的概率模型的分布。,我们有时需要高数中的积分作为工具。,首选引入随机变量，然后再引入分布函数,最后再引入常见的分布。,为了研究更复杂的随机现象，我们需要发展我们研究方法。,第一节 随机变量,例,1,袋中有,3,只黑球，,2,只白球，从中任意取出,3,只球，观察取出的,3,只球中的黑球的个数,在随机试验中人们关心的很大一部分问题都与数值有关，如,n,个产品中的不合格品个数,:,0,，,1,，,2,，,，,n,，试验结果本身就是一个数值；有些试验结果虽然不是数值，但是我们关心的却是一个数值。,分析,：我们将,3,只黑球分别记作,B1,，,B2,，,B3,号，,2,只白球分别,记作,W1,W2,号，则该试验的样本空间为,(n=10),我们记,X=“,取出的黑球数”，,X,的取值情况可由下表给出：,则,X,的可能取值为,1,，,2,，,3,它随着样本点的不同而变化，因此,X,是一个变量但是,X,取什么值依赖于试验结果，试验结果具有一定的随机性，则,X,的取值带有随机性，所以，我们称,X,为随机变量,由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量,X,的一个确定的取值（注意不一定是一一对应，随机变量取各值概率未必相同），这样变量,X,是可以看做是样本空间,上的函数：,我们定义了随机变量,X,的好处是：,可以用随机变量的取值范围来刻划随机事件,例如,=“,表示至少取出,2,个黑球这一事件”,随机变量的定义,设,E,是一个随机试验,是样本空间称样本空间上的单值函数,为一个定义在,上的随机变量。,随机变量通常用大写英文字母或希腊字母表示。,注：随机变量的严格（数学）定义与概率空间中的事件域有关。,掷一颗骰子，令,X,为,出现的点数 则,X,就是一个随机变量它的取值为1，2，3，4，5，6问,X=4,“掷出的点数不超过,4”,X,为偶数,“掷出的点数为偶数”,则,x,4,与,X,为偶数是什么事件？,例,2,注意,X,的取值是有限个！,例,3,一批产品有,50,件，其中有,8,件次品，,42,件正品现从中取出,6,件，令,X,：,取出 6 件产品中的次品数,则,X,就是一个随机变量它的取值为 0，1，2，6则：,X=0=“,取出的产品全是正品”,X,1=”,取出的产品至少有一件次品”,注意,X,的取值是有限个！,例,4,每天上午,8:00,9:00,在某路口观察，令：,Y,“,该时间间隔内通过的汽车数,”，,则,（,2,）,Y100=“,通过的汽车数小于,100,辆”,（,3,）,50Y3000,表示该生物的寿命大于,3000,小时这一随机事件,（,1,）,Z=1500,表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件,注意,Z,的取值是,不可数无穷,个！,例,6,掷一枚骰子，在例,2,中，我们定义了随机变量,X,表示,出现的点数我们还可以定义其它的随机变量，例,如我们可以定义：,这样一个样本空间中我们可以定义很多很多随机变量。,在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量,注 意 点,(1),(1),随机变量,X,(),是样本点的函数，,其,定义域,为，其,值域,为,R,=(,，,),若,X,表示掷一颗骰子出现的点数，,则,X,=1.5,是不可能事件,.,(2),若,X,为随机变量，则,X,=,k,、,a,X,b,、,均为随机事件,.,即,a,X,b,=,；,a,X,(),b,(3),注意以下一些表达式：,X,=,k,=,X,k,X,k,；,a,b,=,X,b,.,(4),同一样本空间可以定义不同的随机变量,.,若随机变量,X,可能取值的个数为,有限个,或,可列个,，则称,X,为,离散型随机变量,.,连续型随机变量,X,的可能取值,充满,某个区间,a,b,（或开区间或整个实轴），而它的定义需要用到积分形式。,除此以外，还有别的类型随机变量,.,随机变量的分类,第二节 离散型随机变量,定义,如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列个，则称这种随机变量为,离散型随机变量,。,一 离散型随机变量的概率分布,对于离散型随机变量，一方面我们关心随机变量取哪些值，例如在一批产品中随机抽取,10,件，我们要关心的是能够取到几件正品，更重要的是我们关心随机变量取这些值对应的概率,X,取各个可能值的概率，即事件 的概率为,（,1,）,称,(1),式为离散型随机变量,X,的,概率分布,或,分布律,.,一般地，设离散型随机变量,X,所有可能取的值为,概率分布,也可以直观地用下面的表格来表示：,随机变量,X,的所有取值,随机变量,X,的各个取值所对应的概率,分布列的基本性质,(,非负性,),(,正则性,),注 意 点,求,离散随机变量的,分布列,应注意,：,(1),确定随机变量的所有可能取值,;,(2),计算每个取值点的概率,.,例,2,10,件产品中有,7,件正品，每次从中任取一件，试在下列三种情况下分别直到取得正品为止,.,求所需抽取次数,X,的分布律,：,(1),每次取出的产品不再放回；,(2),每次取出的产品仍然放回；,(3),每次取出一件产品后总放回一件正品。,解,故所求概率分布为：,故所求概率分布为：,例,3,某系统有两台机器相互独立地运转,。,设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为,0.1,，,0.2,，以,X,表示系统中发生故障的机器数，求,X,的分布律,解,故所求概率分布为：,练习,1,投两枚骰子，,X,表示最大点数，,Y,表示最小点数，分别写出,X,Y,的分布列。,由概率分布还可求出,X,a,，,X,a,，,a,X,b,a,X,b,a,X,b,等事件的概率,上题：,P(X 1,）,=,？,二 常见的离散型分布,1.,（,0,1,）分布,设随机变量,X,只可能取,0,与,1,两个值，它的概率分布是,则称,X,服从,（,0,1,）分布,或,两点分布,。,（,0,1,）分布,的概率分布也可写成,抛一枚硬币，观察出现正面,H,还是,反面,T,，,正面,X,0,反面,X,1,T,H,对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在,W,上定义一个服从,（,0,1,）分布,的随机变量。,来描述这个随机试验的结果。,检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的,“,抛硬币,”,试验都可以用,（,0,1,）分布,的随机变量来描述,。,2.,二项分布,设试验,只有两个可能结果：及,则称 为伯努利（,Bernoulli,）试验,。,设 ，此时,将,E,独立地重复地进行,n,次，则称这一串重复的独立试验为,n,重伯努利试验,。,若随机变量,X,的概率分布为,例,4,已知某类产品的次品率为,0.2,，现从一大批这类产品中随机地抽查,20,件，,问恰好有,k,(,k=,0,1,2,20),件,次品的概率是多少？,解,以,X,记抽出的,20,件产品中次品的件数，那么,X,是一个随机变量，且,X,b,(20,0.2),则所求的概率为,将计算结果列表如下：,k,k,0,1,2,3,4,5,0.012,0.058,0.137,0.205,0.218,0.175,6,7,8,9,10,11,0.109,0.055,0.022,0.007,0.002,0.001,作出上表的图形，如下图所示,设,k,=,k,0,时,P,(,X,=,k,),取最大值，则,k,0,满足,由第一式有,即,同理,二项分布中，使概率,P,(,X,=,k,),取最大值的,k,0,称为二项分布的,最可能值,。,其中,（,n+1,）,p,表示不超过（,n+1,）,p,的最大整数。,所以,练习,1.,口袋中有,3,只黑球，,2,只红球，放回式摸球，摸球,3,次，每次,1,只，这,3,次摸球摸到,2,只黑球的概率是多少？（如果是不放回，摸到,2,只黑球的概率是多少）,2,某人每次射击命中率都为,0.6,，射击,20,次，求（,1,）恰好,4,次没有击中的概率,（,2,）最有可能击中多少次,（,3,）已知此人前三次都没有击中，求第四次击中的概率。,记为,X,h,(,n,N,M,).,超几何分布对应于不放回抽样模型,：,N,件产品中有,M,件次品,，,从中抽取,n,个，次品的个数为,X.,3.,超几何分布,练习：某班级共有,30,名男同学，,20,名女同学，现任找,5,名同学，求（,1,）其中恰好有,1,名女同学的概率。,（,2,）已知这,5,名同学中有,1,名女同学，求其余四人都是男同学的概率,4.,泊松分布,例,5,商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量,服从参数为,l,=,5,的泊松分布,。,为了以,95%,以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？,解,由附录的泊松分布表知,只要在月底进货,9,件,(,假定上个月没有存货,),，就可以,95%,的概率保证这种商品在下个月内不会脱销,。,泊松定理,设随机变量,X,n,服从二项分布，其概率分布为,其中,p,n,为事件,发生的概率它与试验次数,n,有关。,证明,:,记,=np,n,，,有,对于任意固定的,k,有,泊松,定理表明，,泊松分布是二项分布的极限分布，,当,n,很大，,p,很小时，,二项分布就可近似地,看成是参数,=np,的,泊松分布,在,Bernoulli,试验中，,将试验进行到,A,首次出现为止，,X,“所需实验次数”,则,X,服从几何分布即：,5.,几何分布,例,7,对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率,为,0.64,，射击进行到击中目标时为止，令：,X,：所需射击次数,试求随机变量,X,的分布律，并求至少进行,2,次射击,才能击中目标的概率,解,：,X,1,2,，,3,，,这是一个几何分布。,得,P,X,2,的概率为：,