正弦稳态响应的一般求解方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,10,2,正弦稳态响应,一、正弦电流激励的,RC,电路分析,图,10-9,我们现在讨论图,10-9,所示,RC,电路，电路原来已经达到稳定状态，在,t,=0,时刻断开开关，正弦电流,i,S,(,t,)=,I,Sm,cos,(,t,+,i,),作用于,RC,电路，求电容电压,u,C,(,t,),的响应。,首先建立,t,0,电路的微分方程如下,:,对应齐次微分方程的通解,u,Ch,(,t,),为,微分方程特解,u,Cp,(,t,),的形式与电流源相同，为同一频率的正弦时间函数，即,为了确定,U,Cm,和,u,，,可以将上式代入微分方程中,求解得到,微分方程的完全解为,可以求得,最后得到电容电压,u,C,(,t,),的全响应为,本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的波形如图所示。曲线,1,表示通解，它是电路的自由响应，当,RC,0,的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到零，称为暂态响应。曲线,2,表示特解，它按照正弦规律变化，其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后，它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。,图,10-10,二、用相量法求微分方程的特解,求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的特解,。假如能用相量来表示正弦电压电流，就可以将常系数微分方程转变为复系数的代数方程，便于使用各种计算工具。现将这种相量法介绍如下：,代入微分方程,取实部与微分运算的次序交换,由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分应该相等，由此得到一个复系数的代数方程,求解此代数方程得到电容电压相量为,电容电压的振幅和初相分别为,这与式,(10,8),和,(10,9),完全相同。计算出电容电压的振幅和初相，就能够写出稳态响应,从以上叙述可知，,用相量表示正弦电压电流后，可将微分方程转换为复系数代数方程,，求解此方程得到特解的相量后，易于写出正弦稳态响应的瞬时值表达式。,我们可以将以上求特解的方法推广到一般情况，对于由正弦信号激励的任意线性时不变动态电路，,先写出,n,阶常系数微分电路，再用相量表示同频率的各正弦电压电流，将微分方程转变为复系数代数方程，再求解代数方程得到电压电流相量，就能写出特解的瞬时值表达式,。,例,10-4,图,10-9,所示电路中，已知,R,=1,C,=2F,i,S,(,t,)=2cos(3,t,+45,)A,试用相量法求解电容电压,u,C,(,t,),的特解。,解：写出电路的微分方程,图,10-9,将正弦电流用相量表示,可以得到复系数代数方程,代入微分方程中,求解此代数方程得到电容电压相量,由此得到电容电压的瞬时值表达式,这是图,10,9,所示电路中电容电压,u,C,(,t,),的特解，也是电容电压的正弦稳态响应。,例,10-5,图,10,11,所示,RLC,串联电路中，已知,u,S,(,t,)=2cos(2,t,+30,)V,R,=1,L,=1H,C,=0.5F,。,试用相量法求电容电压,u,C,(,t,),和电感电流,i,L,(,t,),的特解。,解：以电容电压为变量列出电路的微分方程,图,10-11,将方程中的,u,S,(,t,)=2cos(2,t,+30,)V,和,u,C,(,t,),用相量表示,对方程先求导，再取实部,得到复系数代数方程为,求解代数方程，注意到,=2,rad,/s,和,j,2,=-1,，,得到电容电压相量,根据,=2,rad,/s,得到电容电压的瞬时值表达式,代入,R,=1,L,=1H,C,=0.5F,得到,求得电容电流和电感电流的瞬时值表达式,由于此二阶电路的两个固有频率都具有负实部，暂态响应将随着时间的增加而衰减到零，以上计算的电容电压和电感电流的特解，也就是电路的正弦稳态响应。,图,10-11,三、正弦稳态响应,s,1,、,s,2,、,、,s,n,是,n,阶动态电路的固有频率。,如果全部固有频率具有负实部,(,即处于左半开复平面上,),，则对于任何初始条件，在具有相同频率,的正弦电压源和电流源激励下，电路中全部电压和全部电流随着,t,将按指数规律趋于相同频率,的正弦波形。当这种情况发生时，称电路处于正弦稳态。,现在将上面的讨论推广到一般动态电路。具有相同频率,的一个或几个正弦信号激励的线性时不变动态电路，我们感兴趣的响应为,x,(,t,),，则,x,(,t,),可表为如下形式：,相量法求微分方程特解的方法与步骤如下：,1.,用,KCL,，,KVL,和,VCR,写出电路方程,(,例如,2,b,方程，网孔方程，结点方程等,),，以感兴趣的电压电流为变量，写出,n,阶微分方程。,2.,用相量表示同一频率的各正弦电压电流，将,n,阶微分方程转换为复系数代数方程。,3.,求解复系数代数方程得到所感兴趣电压或电流的相量表达式。,4.,根据所得到的相量，写出正弦电压或电流的瞬时值表达式。,以上步骤中，列出以某个电压或电流为变量的,n,阶微分方程，并将它转换为复系数代数方程是最困难工作，电路越复杂，工作量越大。,为此，我们可以先画出电路的相量模型，用相量形式的,KCL,、,KVL,和元件,VCR,直接列出复数的电路方程。,用相量法求解电路正弦稳态响应的方法和步骤如下：,1.,画出电路的相量模型，用相量形式的,KCL,，,KVL,和,VCR,直接列出电路的复系数代数方程,。,2.,求解复系数代数方程得到所感兴趣的各个电压和电流的相量表达式。,3.,根据所得到的各个相量，写出相应的电压和电流的瞬时值表达式。,用相量法分析正弦稳态响应的优点有：,1.,不需要列出并求解电路的,n,阶微分方程。,2.,可以用分析电阻电路的各种方法和类似公式来分析正弦稳态电路。,3.,读者采用所熟悉的求解线性代数方程的方法，就能求得正弦电压电流的相量以及它们的瞬时值表达式。,4.,便于读者使用计算器和计算机等计算工具来辅助电路分析。,