5-量纲分析和相似原理解析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.1.1 量纲的概念,5 量纲分析和相像原理,5.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理,量纲因次：物理量的属性或称类别。,例如 长度的物理属性是线性几何量，量度单位有米、厘米、英尺、光年等。,量度单位是人为规定的量度标准，量纲因次是物理量的实质，不含有人为的影响。,速度,加速度,力,动力粘度,根本量纲：无任何联系且相互独立的量纲。国际单位制中，规定了七个物理量作为“根本量”。,长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度。,导出量纲：由根本量纲导出的量纲。例如：,一般地，普遍承受M-L-T-根本量纲系，对于不行压缩流体运动，则选取M-L-T3个根本量纲，其它物理量的量纲可以表示为：,此式称为量纲公式。物理量q的性质由量纲指数、打算：当=0、0、=0,q为几何量；当=0、0、0,q为运动学量；当0、0、0,q为动力学量。,5.1.2 无量纲量,当,量纲公式中=0、=0、=0时, 物理量q为无量纲量。,如 雷诺准数,无量纲量的特点：,客观性,不受运动规模的影响,可进展超越函数运算,5.1.3 量纲和谐原理,量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲肯定是全都的。,如粘性流体总流的柏努利方程,式中各项的量纲均为L。,工程上某些阅历公式不满足量纲和谐原理，说明这些公式需要随生疏的提高而渐渐被修正。,1凡正确反映客观规律的物理方程，肯定能表示成由无量纲量组成的无量纲方程。,推论：,2量纲和谐原理规定了一个物理过程中有关物理量之间的关系。由于一个正确完整的物理方程中，各物理量量纲之间的关系是确定的，按这一确定关系，可以建立该物理过程各物理量的关系式。量纲分析法就是依据这一原理进展起来的。,5.2.1 瑞利法,5.2 量纲分析法,瑞利Rayleigh，1899年法根本原理是某一物理过程同几个物理量有关,其中某一物理量可表示为其它物理量的指数积,写出量纲式,依据量纲和谐原理，确定指数a，b，p，得出表达该物理过程的方程式。,例 求水泵输出功率的表达式。,解 水泵输出功率指单位时间内水泵输出的能量。,与水泵输出功率有关的物理量：单位体积水的重量=g，流量Q，扬程H，即,写出指数积关系式,写出量纲式,以根本量纲M，L，T表示各物理量量纲,依据量纲和谐原理求量纲指数,M: 1=a,L: 2=-2a+3b+c,T: -3=-2a-b,得：a=1，b=1，c=1,整理方程式：,例 求圆管层流的流量关系式。,解 影响圆管层流流量的物理量：管段两端压强差p，管段长l，半径r0，流体粘度。依据阅历，流量与压强差成正比，与管长成反比，将p与l合并为一项p/l ，得到,写出指数积关系式,写出量纲式,以根本量纲M，L，T表示各物理量量纲,依据量纲和谐原理求量纲指数,M: 0=a+c,L: 3=-2a+b-c,T: -1=-2a-c,得：a=1，b=4，c=-1,整理方程式：,系数K由试验确定，K=/8,其中：,在有关物理量不超过4个，待求的量纲指数不超过3个时，可依据量纲和谐条件求出各指数，建立方程式第一例。在有关物理量超过4个时，需合并有关物理量其次例。,5.2.2 定理布金汉定理，Bucking ham,由美国物理学家Bucking ham提出。假设某一物理过程包含n个物理量，即,其中有m个根本量量纲独立，不能相互导出，则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲,项所表达的关系式来描述，即,由于无量纲项用表示，因此叫作定理。,定理的应用步骤：,1找出物理过程有关的物理量,2从n个物理量中选取m个根本量，不行压缩流体运动，一般取m=3，设所选根本量为q1，q2，q3，由量纲公式,满足根本量纲独立的条件是量纲式中指数行列式不等于零，即,对于不行压缩流体，通常选取速度v(q1)、密度(q2)、特征长度l(q3)为根本量。,3) 根本量依次与其余物理量组成项,4) 满足为无量纲项，求出各项根本量的指数a，b，c。,5) 整理方程式。,例 求有压管流压强损失表达式。,解 1)找出有关物理量，压强损失与流体的性质密度、运动粘度、管道条件管长l、直径d、壁面粗糙度ks以及流淌状况流速v有关，有关量数n=7。,2)选根本量，选流速v、密度、管径d为根本量，根本量数m=3。,3)组成,项，,数为n-m=4。,4)确定各项根本量指数。,M: 1=c,1,L: -1=a,1,+b,1,-3c,1,T: -2=-a,1,得：a,1,=2，b,1,=0，c,1,=1,M: 0=c,2,L: 2=a,2,+b,2,-3c,2,T: -1=-a,2,得：a,2,=1，b,2,=1，c,2,=0,不需要对量纲逐个分析，直接由无量纲条件得出,a,3,=0，b,3,=1，c,3,=0,不需要对量纲逐个分析，直接由无量纲条件得出,a,4,=0，b,4,=1，c,4,=0,5)整理方程式,p与管长l成比例，将l/d移至函数式外面,此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏斯巴赫Darcy-Weisbach公式。,5.2.3 量纲分析方法的争论,1)量纲分析方法的根底是量纲和谐原理。,2)量纲和谐原理是判别阅历公式是否完善的根底。,3)应用量纲分析法得到的物理方程是否符合客观规律和所选的物理量是否正确有关。争论者要依靠理论分析和试验成果以及对流淌现象的生疏正确选取物理量。,4)量纲分析法是沟通流体力学理论与试验之间的桥梁。,5.3.1 相像概念,5.3 相像理论根底,几何相像：两个流淌流场原型和模型的几何外形相像，即相应的线段长度成比例、夹角相等。,以p表示原型 (prototype) ，m表示模型 (model) ，有,运动相像：两个流淌相应点速度方向一样，大小成比例。即,称为长度比尺。由此可以推得面积比尺和体积比尺。,面积比尺,体积比尺,几何相像是通过长度比尺来表征的。,称为速度比尺。由于相应点速度成比例，相应断面平均流速也有一样的比尺。,将关系式 代入得,称为时间比尺。,运动相像应有固定的长度比尺和时间比尺。,速度相像意味着加速度相像，加速度比尺为,动力相像：两个流淌相应点处受同名力作用，力的方向一样、大小成比例。,依据达朗伯原理，运动质点所受作用力的合力与假想加上的惯性力平衡，构成封闭力多边形。因此，动力相像可相应表示为相应点上的力多边形相像如前图。,影响流体运动的作用力主要是粘滞力、重力、压力，有时还有其它力，分别以T、G、P和I表示粘滞力、重力、压力和惯性力，有,比尺,边界条件和初始条件相像：边界条件相像指两个流淌边界性质一样，如原型中的固体壁面处，模型中相应处也为固体壁面，原型中的自由液面处，模型中相应处也为自由液面。对于非恒定流，还要满足初始条件相像。,边界条件相像可以归入几何相像，对于恒定流，无需初始条件相像，这样，流体力学相像可以简化为几何相像、运动相像和动力相像三方面。,5.3.2 相像准则,实现原型流淌和模型流淌相像的条件：,首先要满足几何相像，否则两个流淌不存在对应点，几何相像是力学相像的前提。,其次是满足动力相像，要想实现动力相像，前面定义的各种比尺必需符合肯定的约束关系，这种约束关系称为相像准则。,1雷诺准则,由式,得,鉴于上式表示的是两对应点上惯性力与粘滞力的比例关系，不是计算力确实定量，所以,式中的力可以用特征量表示：,粘滞力：,惯性力：,代入前式，得,即,无量纲数 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流淌的雷诺准数相等，粘滞力相像。,2弗劳德准则,由式,得,将重力 ，惯性力 代入上式，整理得,开方,即,无量纲数 称为弗劳德数(Froude number)，表示惯性力与重力之比。两流淌的弗劳德数相等，重力相像。,3欧拉准则,由式,得,将压力 ，惯性力 代入上式，整理得,即,无量纲数 称为欧拉数(Euler number)，表示压力与惯性力之比。两流淌的欧拉数相等，压力相像。,一般地，对流淌起作用的是压强差，而不是压强确实定值，欧拉数中常以相应点的压强差代替压强，得,4柯西准则,当流淌受弹性力作用时,由式,得,将弹性力 ，惯性力 代入上式，整理得,即,无量纲数 称为柯西数(Cauchy number)，表示惯性力与弹性力之比。两流淌的柯西数相等，弹性力相像。柯西准则用于水击现象的争论。,声音在流体中的传播速度音速 ，代入式,开方得,即,无量纲数 称为马赫数(Maeh number)，可压缩气流流速接近或超过音速时，弹性力成为,影响流淌的主要因素，实现流淌相像需要马赫数相等。,如前所述，两个相像流淌相应点上的封闭力多边形是相像形。假设打算流淌的作用力是粘滞力、重力和压力，则只要其中两个同名力和惯性力成比例，另一个力也将成比例。一般地压力是待求量，只要粘滞力和重力相像，压力也将相像，即当雷诺准则、弗劳德准则成立，欧拉准则自行成立。因此，将雷诺准则、弗劳德准则称为独立准则，欧拉准则称为导出准则。,流体运动是边界条件和作用力打算的，假设两流淌实现了几何相像和动力相像，运动规律必定一样。即几何相像和独立准则成立是实现流体力学相像的充分和必要条件。,5.4 相像定理,相像定理是相像原理的核心内容，也是模型试验争论的主要理论根底。它可以告知我们在进展模型试验争论时，应当解决的以下几个问题：,1试验争论应当测量哪些参量?,2如何做到模型现象与原型现象相像?,3如何对测量的结果进展数据的整理和加工?,4模型试验的结果怎样推广应用?,5.4.1 相像正定理,相像第肯定理，或相像性质定理：彼此相像的现象，其相像准数的数值必定相等。,彼此相像的现象具有以下性质：,1)相像的现象都属于同一类现象，它们都可以用文字上与形式上完全一样的完整方程组来描述。,2)用来表征这些相像现象的一切对应物理量的场相像，即各对应物理量在对应的空间部位和对应时刻都各自对应成比例。,3)相像的现象必定发生在几何相像的空间中，所以几何的边界条件必定相像。,4)由性质1)和性质2)可知，表示现象特征的各物理量的比尺之间并不是互不相关的，而是相互联系并为某一种规律彼此相约束的。它们之间的约束关系表现为由某些比尺所组成的相像指标数(简称相像指标)等于1。,例 设有一流体质点沿x轴作直线运动，其运动方程为u=dx/dt，另一流体质点的运动与上面的流体质点的运动相像，则依据相像性质1)，其运动方程为u=dx/dt,表示两质点运动的物理量分别为u、x、t和u、x、t。,依据相像性质2)，其次个流淌现象的物理量与第一个流淌现象的物理量在对应的空间点和对应的时刻上各自对应成比例关系，即,或,代入其次质点的运动方程得,与第一个质点的运动方程进展比较，明显，只有各比尺之间的关系符合,两个流体质点的运动方程才完全一样。这就是相像性质4)所说明的各物理参量的比尺之间的约束关系。这种约束关系常用C表示，即,C称为相像指标数，或简称相像指标。它是由描述现象的一些物理量的比尺所组成。,相像指标式通常还可以写成另一种形式：,即,式中的 都是无因次综合量，即相像准数。其物理意义为：对于彼此相像的流体质点的运动，它们在空间的对应点准时间的对应时刻，由u、x、t所组成相像准数,称为,斯特罗哈准数,，用St表示，通常写作,的数值是相等的。,斯特罗哈准数St表达的是运动流体所受到的迁移惯性力与当地惯性力之间的比值关系。,从上述对相像性质的分析中，可以得出相像第肯定理的结论：“彼此相像的现象，其相像准数的数值相等”。,这肯定理答复了试验争论中的第一个问题，即在试验中需要测定哪些物理量。它指出，所要测定的物理量乃是包含在各有关准数中的物理量。,5.4.2 相像逆定理,相像其次定理，或相像判定定理：但凡同一种类的现象，假设单值条件相像，而且由单值条件的物理量所组成的相像准数在数值上相等，则这些现象就必定相像。,要使模型中的现象与原型中的现象相像，就必需设法满足相像条件：,相像条件1)：所争论的两个现象要属于同一类现象，即它们都可用文字与形式完全一样的根本方程组来描述。,相像条件2)：单值条件相像是现象相像的其次个必要条件。,对于不行压缩粘性流体的不稳定等温流淌来说，应包括以下单值条件：几何条件相像；时间条件相像；边界条件相像；物理条件相像。,相像条件3)：由单值条件的物理量所组成的相像准数在数值上相等是现象相像的第三个必要条件。,相像其次定理说明：为了保证模型现象与原型现象相像，必需使单值条件相像，而且由单值条件的物理量所组成的相像准数在数值上要相等。另外，它还说明，模型试验结果可以推广应用到与模型现象相像的一切现象中去。,5.4.3 相像第三定理,又称定理(相像准数一般都用表示，故称“定理”)：描述某现象的各种物理量之间的有因次函数关系，可以表示成相像准数之间的无因次函数关系，即,或写成 ,1,=f(,，,，,i,),F(,1,，,，,，,i,)=0,式中1为被打算性准数；2、3、i为打算性准数。这种无因次的函数关系式称为准数方程式。,相像第三定理答复了试验争论中应当解决的第三个问题，即试验得到的数据应如何整理和加工的问题。,5.5 模型试验,5.5.1 模型律的选择,为保证模型与原型流淌完全相像，除几何相像外，各独立的相像准则应同时满足。实际上，同时满足各独立的相像准则几乎不行能。,如按雷诺准则,原型与模型的速度比,按弗劳德准则,且,原型与模型的速度比,要同时满足雷诺准则与弗劳德准则，有,当原型与模型为同种流体，有,此时，只有l,m,=l,p,时，上式才成立。,当原型与模型为不同流体， ，有,即,假设长度比尺l=10，原型为水，模型流体的粘度应是水的1/31.62，这样的流体很难找到。,一般来说，当影响流速的因素主要是粘滞力时，就可承受雷诺模型。例如有压管流，当流速分布及沿程损失，主要取决于流层间的粘滞力粘性阻力，而与重力无关，则承受雷诺模型，本章已用量纲分析法得出有压管流沿程阻力系数：,即说明有压管流欲使沿程阻力相像，只要模型与原型雷诺数相等及满足管壁相对粗糙度的几何相像即可。当雷诺数小于2023在层流区时，则只要雷诺数 Rep= Rem即可，相对粗糙度的作用可以无视不计。当雷诺数很大在紊流粗糙区阻力平方区时，由管壁相对粗糙度引起的阻力占主导地位，粘性阻力居次，此时只要满足几何相像，特殊是相对粗糙度相等，即可自动满足力学相像，而模型的雷诺数只要保持在阻力平方区的界限雷诺数之上即可，不必要求与原型雷诺数相等，这一区称为自动模型区。,明显，模型试验很难完全相像，只能近似相像。,模型律选择：,主要作用力 满足准则 流淌实例,粘滞力 雷诺准则 有压管流、潜体绕流,重力 弗劳德准则 堰顶溢流、闸孔出流、明渠流淌,5.5.2 模型设计,先依据试验场地、模型制作和测量条件，确定长度比尺l；,再以确定的长度比尺,l,缩小原型尺寸，得出模型几何边界；,分析流淌受力状况，选择模型律；,按选用的相像准则，确定流速比尺和模型流量。,设计步骤：,雷诺准则 如,弗劳德准则 如,流量比,模型流量,将速度比尺关系式代入，得模型流量,雷诺准则模型流量,弗劳德准则模型流量,例 为争论热风炉中烟气的流淌特性，承受长度比尺为10的水流做模型试验。热风炉内烟气流速为8m/s，烟气温度为600，密度为0.4kg/m3，运动粘度为0.9cm2/s，模型中水温10 ，密度为1000kg/m3，运动粘度为0.0131cm2/s。试问1为保证流淌相像，模型中水的流速；2实测模型的压强降为6307.5N/m2，原型热风炉运行时，烟气的压强降为多少？,解 对流淌起主要作用的力是粘滞力，应满足雷诺准则,模型中水的流速,流淌的压强降满足欧拉准则,例 桥孔过流模型试验。桥墩长24m，墩宽4.3m，水深8.2m，平均流速2.3m/s，两桥台距离90m，长度比尺为50，要求设计模型。,解 按长度比尺设计模型尺寸,桥墩长,桥墩宽,墩台距,水深,对流淌起主要作用的力是重力，按弗劳德准则确定模型流速及流量,流速,流量,