数理统计第二章数字特征

*,*,随机变量的数字特征,随机变量概率分布,(,或密度函数,),及分布函数能全面了解统计规律性，可以计算随机变量取各个值或一个区间的概率大小。,但在实际中，很难得到一个精确的密度函数及分布函数，再者有时只需知道随机变量的一些特征就可说明实际问题，如平均值和离散程度。,数字特征,就是用来表示,平均值,和,离散程度,等的量，分两类：,1,、表示随机变量,均值特征,(,大小或位置,),的,数学期望,、中位数、众数等；,2,、表示,离散程度,的,方差,、变异系数、协方差等。,2.1,数学期望,离散型随机变量数学期望,连续型随机变量数学期望,随机变量函数的数学期望,一、数学期望定义,(,一,),离散型随机变量的数学期望,例,1,某人在某游戏中所得分数,X,的分布列为：,p 0 0.2 0.5 0.3,X 0 1 2 3,，求所得分数,X,的平均值。,解,：假设进行了,N,次游戏，当,N,足够大时，可认为：,NP,1,次得,1,分，,NP,2,次得,2,分，,NP,3,次得,3,分。,总分数为,0NP,0,+1NP,1,+2NP,2,+3NP,3,故,X,的平均值,=,总分数,/N,=1P,1,+2P,2,+3P,3,=1x0.2+2x0.5+3x0.3=2.1,定义,1,设离散型随机变量,X,的概率分布为,P(X=x,i,)=p,i,(i=1,2,),(,二,),连续型随机变量的数学期望,定义,3,设连续型随机变量,X,的密度函数为,f(x),例,3,随机变量,X,的密度函数为,求,E(X),(,三,),随机变量函数的数学期望,离散型随机变量,X,的概率分布为,P(X=x,i,)=p,i,(i=1,2,),，则其函数,Y=g(X),的数学期望为,连续型随机变量,X,的密度函数为,f(x),则其函数,g(X),的数学期望为,案例,2-22,(,四,),数学期望的性质,1,、,C,为常数 则,E(C)=C,2,、,C,为常数 则,E(CX)=CE(X),3,、,E(XY)=E(X)E(Y)(,可推广到多个随机变量,),4,、设,X,Y,相互独立，则,E(XY)=E(X)E(Y),(,可推广到多个随机变量,),P33,三、中位数、众数和分位数,1,、中位数,(Median),定义,5,设,X,为一随机变量，若存在实数,x,有,则称,x,为,X,的中位数，记作,Me,例,6,设,X,的概率函数为,p 0.1 0.2 0.4 0.3,X -1 0 1 2,求,X,的中位数。,解 因为,PX1=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1),=0.1+0.2+0.4=0.70.5,而,PX1=P(X=1)+P(X=2)=0.4+0.3=0.70.5,所以,X,的中位数,Me=1,。,(3),中位数可能不是样本值。,注意,(1),中位数可能,不唯一,.,(2),连续型随机变量中位数是,F(x)=1/2,的解,.,2,、众数,(mode),定义,6,(,离散型,),设随机变量,X,的分布律为,P(X=x,i,)=p,i,(i=1,2,),，且,x,1,x,2,x,n,由,小到大排列,，若存在,x,k,有,p,k-1,p,k+1,，则称,x,k,为,X,的众数，记作,Mo,例,9,设,X,的概率函数为,p 0.1 0.2 0.4 0.3,X -1 0 1 2,求,X,的众数。,解 因为,P(X=1)P(X=0),且,P(X=1)P(X=2),，,所以,X,的众数,Mo=1,3、,分位数,(,临界值,),定义,9,(,右侧,分位数,),设,X,为一随机变量，若存在数,x,满足,则称,x,为,X,概率分布的右,(,上,),侧,分位数,(,临界值,),。,定义,10,(,双侧,分位数,),设随机变量,X,概率分布关于,x=0,对称，若存在数,x,/2,满足,/2,/2,则称,x,/2,为,X,概率分布的双侧,分位数,(,临界值,),。,由右图易见，对关于,x=0,对称的图形有：,左侧,临界值,u,1-,/2,=-u,/2,例,11,若随机变量,XN(0,1),求下列右侧和双侧临界值,u,0.05,u,0.05/2,u,1-0.05,u,0.975,解 查,p194,附表,4 u,0.05,=u,0.1/2,=1.64,u,0.05/2,=1.96,u,1-0.05,=-u,0.05,=-1.64,u,0.975,=-u,0.025,=-u,0.05/2,=-1.96,书后附录中列出了一些常用概率分布的临界值表，都是按上述原理编制的，实际中经常用到，应会查。查表时要注意是上侧临界值表还是双侧临界值表，并注意,值的转换。,小 结,1,、,基本概念,：,数学期望、,分位数,、中位数、众数、百分位数。,2,、,基本性质与运算,：数学期望性质及运算。,方 差,一、方差,(Variance),例,12,设甲乙两位射击运动员各射击,5,次，其射击环数,X,1,和,X,2,如表所示,试比较两人的技术水平。,X1 9.7 10.1 9.9 9.8 9.8,X2 9.9 9.7 9.9 10.5 9.1,解 虽然,E(X,1,)=E(X,2,)=9.82,，但并不能说明两人的技术水平相同，因为甲的数据与,E(X,1,),都很接近，但乙较分散，说明甲的技术水平较稳定。,离差,(dispersion)-,对随机变量,X,把,X-E(X),称为,X,的离差。描述随机变量各个取值与数学期望的离散程度,.,要描述随机变量分布的离散程度，需要求出离差的均值,但显然,E(,X-E(X)=0,(,因离差有正有负,),。这时可能考虑用,E|X-E(X)|,表示离散程度大小，但式中有绝对值，计算时麻烦，所以用,EX-E(X),2,代替，从而得到方差。,可见，数学期望不能全面说明随机变量的分布特征，还需要研究随机变量对其数学期望的离散程度。,1,、,方差定义,设,X,是一随机变量，若,EX-E(X),2,存在，则称它为,X,的方差，记作,V(X),即,对于离散型随机变量,X,对于连续型随机变量,X,例,13,设离散型随机变量的分布列为,P 0.06 0.24 0.7,X 1 2 3,求：E（X），D（X）。,2,、方差的性质,(3),设,X,Y,相互独立，则D,(X,+,Y)=,D,(X)+,D,(Y),(,可推广到多个随机变量,),证明 D,(X,+,Y)=E(X,+,Y)-E(X,+,Y),2,=E(X-E(X),+,(Y-E(Y),2,=EX-E(X),2,+,2EX-E(X)EY-E(Y),+,EY-E(Y),2,=V(X)+V(Y),