高数72可分离变量微分方程

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可,分离变量方程,第七章,分离变量方程的解法:,设,y,(,x,),是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当,G,(,y,),与,F,(,x,),可微且,G,(,y,),g,(,y,),0,时,的隐函数,y,(,x,),是的解.,则有,称为方程的,隐式通解,或,通积分,.,同样,当,F,(,x,)=,f,(,x,)0,时,由确定的隐函数,x,(,y,),也,是的解.,设,左右两端的原函数分别为,G,(,y,),F,(,x,),说明由确定,例1.,求微分方程,的通解.,解:,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数),或,说明:,在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解,y,=0,),例2.,解初值问题,解:,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,=1,(,C,为任意常数),故所求特解为,例3.,求下述微分方程的通解:,解:,令,则,故有,即,解得,(,C,为任意常数,),所求通解:,练习:,解法 1,分离变量,即,(,C,0,),解法 2,故有,积分,(,C,为任意常数),所求,通解:,积分,例4.,子的含量,M,成正比,求在,衰变过程中铀含量,M,(,t,),随时间,t,的变化规律.,解:,根据题意,有,(,初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知,t,=0,时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,例5.,成正比,求,解:,根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(,t,=0),速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t,足够大时,例6.,有高 1,m,的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度,h,随时间,t,的变,解:,由水力学知,水从孔口流出的流量为,即,求水,小孔横截面积,化规律.,流量系数,孔口截面面积,重力加速度,设在,内水面高度由,h,降到,对应下降体积,因此得微分方程定解问题:,将方程分离变量:,两端积分,得,利用初始条件,得,则得容,器内水面高度,h,与时间,t,的关系:,可见水流完所需时间为,因此,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:,通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x,及,y=C,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程,(如:,P298,题5(2),2),根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程,(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并根据定解条件确定特解.,3.,解微分方程应用题的方法和步骤,例4,例5,例6,思考与练习,求下列方程的通解:,提示:,(1),分离变量,(,2),方程变形为,作业,P 304 1,(1),(5);,2,(3);,4;5,第三节,