电磁学2高斯定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电磁学,第二篇,Electromagnetism,上次课内容回顾,库仑定律：点电荷之间的相互作用力,电场强度：,点电荷的电场强度：,连续带电体的电场强度：,静电场的形象描述,电场线上每点切线的方向表示该点场强的方向,+,q,q,一、静电场的高斯定理,1.,电场线,（,E,线,）,第,3,节 静电场的高斯定理,Gauss,Law of Electrostatic Fields,引入电场线,只是为了形象理解电场,E,，实际上,电场,E,是连续分布于空间。,规定：,=,电场强度的大小,（也称电场线密度）,（,1,）静电场的电场线起于正电荷止于负电荷，,有头有尾，不会在无电荷处中断。,电场线的特征：,（,2,）在没有电荷的空间里，任何两条电场线,不会相交。,电场中任意一点处，通过该处垂,直于的 单位面积上电场线根数,（,3,）静电场的电场线不会形成闭合曲线。,电场线稀疏的地方场强小,电场线密集的地方场强大,+,q,2.,电通量,定义,：通过电场中任一给定面的电场线总根数，,就是该面的电通量,E,。,（,1,）,E,为均匀场,1,o,设场中有一平面,S,，,该面的电通量：,E,=,SE,2,o,E,=,SE,cos,S,S,n,（,2,）,E,为非均匀场,曲面,S,上,各点的,E,大小方向均不同,取面积元,d,S,，其上的电通量：,S,面上的总通量：,当,S,为闭合曲面时：,对闭合面的法线方向规定：,自内向外为法线的,正,方向,E,线从曲面内向外穿出,而从曲面外向内穿,入,E,的单位：,d,S,S,3,.,真空中静电场的高斯定理,静电场的基本规律之一,（,1,）高斯定理,通过任意闭合,曲面,S,的电通量,S,面包围的,电荷的代数和,即：,内,证明：,设真空中有一点电荷,q,，,在,q,的电场中，,(1),取以,q,为中心,r,为半径的球面,S,该,S,上的电通量为：,S,内,内,(2),设想任意闭合面,S,，且,S,与,S,包围同,一个点电荷,q,，,由电场线的连续性可知：,看出,电通量,与球面半径、,闭合曲面形状无关。,证明：,S,S,S,内,设真空中有一点电荷,q,，,在,q,的电场中，,内,(3),若球面,S,或任意曲面,S,不包围电荷,q,S,S,=0,即,:,曲面外的电荷对闭合曲面的电通量无贡献,穿入的,电场线,穿出的,电场线,设真空中有一点电荷,q,，,在,q,的电场中，,证明：,内,(4),若在同一空间有,q,1,、,q,2,q,n,电荷系,任意点的电场强度为,:,取任意闭合面,S,，,S,其电通量为,:,由单个点电荷的结论,q,i,在,S,内,q,j,不在,S,内,定理得证！,证明：,内,内,2,封闭面,S,上的场强,E,是由,S,内的电荷产生，而,与,S,外的电荷无关吗？,1,E,只决定于,闭合曲,面,S,包围的电荷，,S,面外的,电荷对,E,无贡献。,3,若,S,内的电荷是连续分布,E,是由,全部电荷,共同产生的合场强,q,i,移动，,E,、变否？,注意,曲面,S,内,带电体的体积,内,体电荷密度,有关！,高斯定理的意义：,有净电场线从闭合面内,发出,有净电场线到闭合面内,终止,反映电场的基本性质,说明静电场是有源场！,电磁场的基本方程之一,若,若,内,高斯定理的微分形式：,电场强度的散度，等于体电荷密度 与 之比。,梯度算符,即电场线起于正电荷，止于负电荷。,例,9.,求均匀带电球面的电场。,设半径为,R,电量为,+,q,。,.,P,d,q,d,E,d,E,d,q,R,解：,取,r,为半径的同心,高斯球面,S,o,方向为,r,r,E,o,R,+,q,二、用高斯定理求,E,内,又,当,而,内,内,例,10.,求均匀带电球体的电场分布。,设半径为,R,电量为,+,q,。,R,解：,取以,r,为半径的同心高斯球面,S,o,方向为,r,r,E,o,R,方向为,r,r,0,时,E,0,.,.,P,d,q,例,11.,用高斯定理求均匀带电的,无限长圆柱棒的电场分布,已知线电荷密度,。,解：,取半径为,r,高为,h,的同轴高斯圆柱面,通过该面的电通量：,0,0,h,r,+,侧面,侧面,对有限长的棒,不成立,讨论：,1,r,0,E,？,无限长均匀带电圆柱体,无限长均匀带电圆柱面,2,两平行输电线的电场分布？,体密度,3,同轴电缆的电场？,r,例,12.,无限大,薄,平板均匀带电，面电荷密度,+,，,求 场强分布,?,解：,由电荷分布可知场相对平面对称,过场点作闭合高斯柱面,平板,与板等距离平面上,E,相等,方向：垂直于平板向外,内,并且,内,例,13.,无限大平板厚度为,d,，电荷体密度为,，,电场强度如何分布？,解：,均匀电场,板内：,板外：,如图在平板内、外作底面为,S,的高斯柱面：,电场相对板的中心平面对称,小结高斯定理解题步骤：,（,1,）分析电场是否具有对称性。,（,2,）取合适的高斯面,(,封闭面,),与电场线垂直，,并且曲面上,E,大小相等。,（,3,）,E,相等的面不构成闭合面时，,另选法线 的面。,（,4,）分别求出 和 ，,从而求得,E,。,内,例,14.,一半径为,R,电荷密度为,的均匀带电球内有一,半径为,r,的空腔，证明空腔内为均匀电场。,R,o,r,o,证明：,过空腔内任一点,P,作以,r,为,半径,o,为心的高斯球面,.,.,P,设想空腔内充有,+,和,的电荷,所有,+,构成一完整的带电球。,根据高斯定理：,所有,+,在空腔内,P,点产生的场强为,.,P,同理,过空腔内的,P,点，作以,r,为,半径,空腔圆心,o,为心的高斯球面,.,根据高斯定理可得,所有,在,P,点产生的电场,:,P,点的合场强：,即腔内为均匀电场,所有,+,在空腔内,P,点产生的场强为,R,o,r,o,.,P,1.,下列说法是否正确：,答：,不对（如图）。,（,1,）,应用高斯定理的条件是电场必须具有对称性。,答：,不对。,（,3,）,若闭合曲面,S,上各点,的场强为零时，则,S,面内必 定未包围电荷。,答：,不对（如图）。,讨论,高斯定理,（,2,）,静电场中任一闭合曲面,S,，若有 ，,则,S,面上的,E,处处为零。,2.,有一对等量异号的电荷如图，求通过,S,1,、,S,2,、,S,3,、,S,4,各面的电通量。,解：,3.,空腔中能否作一高斯面求得腔内任一点的,场强为零？,答：,不行！虽然空腔中,E,处处相等，但方向不与 平行，用高斯定理仍然不能求出场强。,（,4,）,三个相等的点电荷置于等边三角形,三个顶点上，以三角形的中心为球心作一,球面,S,如图，能用高斯定理求面上的场强。,答：,不对。,但有 成立。,